- il y a 57 minutes
Cours disponible ici : https://drive.google.com/file/d/1jlbc1aUJTDytQuVMUiAaBuEgfQoEOEiL/view?usp=drive_link
Catalogue de vidéos disponibles : https://docs.google.com/spreadsheets/d/1YyOoi0plYR197o06WGSnkBBsEnFOnrWhrU4VphcoaZ4/edit
Exercices disponibles ici : https://drive.google.com/drive/folders/1p96PjY19sLOLWEAjlfhdiCp7s5-gwLvt?usp=sharing
Annexe de lecture :
- https://drive.google.com/file/d/1s1w6F0LJdF_yS9XS_S0pRR99zOn9NtUZ/view?usp=drive_link
- https://drive.google.com/file/d/1EbQ-3vdAOA3aNHM3tteaybpbPZ5yIqIT/view?usp=drive_link
- https://drive.google.com/file/d/1QsYf8psYM6kj7MX-xECK0OrjvI2jH86D/view?usp=drive_link
- https://drive.google.com/file/d/1aUbVpcm_ivY7mqdAyF1TXOxNXJFhrx8d/view?usp=drive_link
- https://drive.google.com/file/d/1i8gbworrMB921pPyPBLbhgSuwyJtVV9-/view?usp=drive_link
- https://drive.google.com/file/d/1_Jh0wz3xkOrPHxaIp912CnLMN0ZMSQqF/view?usp=drive_link
Que la Forge soit avec toi !..
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Catégorie
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ÉducationTranscription
00:18Les incertitudes
00:18Mes respects à tout le monde, bienvenue dans la forge du quantum.
00:22Aujourd'hui, atelier émeuté numéro 4, les incertitudes.
00:26Et on commence sans plus attendre par définir ce que sont ces incertitudes et les événements qui les produisent.
00:32C'est parti !
00:33En métrologie, une incertitude de mesure, liée à un mesurage, caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurant d
00:41'à partir des informations utilisées, d'après le Bureau international des poids et mesures, abrégé en BIPM.
00:47A ce propos, dans la description, tu trouveras un document officiel de ce bureau, l'annexe numéro 4, que je
00:54te conseille très fortement de lire.
00:56Certes, il y a 132 pages, c'est écrit en tout petit, il y a des signes cabalistiques mathématiques et
01:02ésotériques par rapport à ton niveau, mais tu vas apprendre moult choses sur cette incertitude.
01:07Et ce n'est pas un seul annexe, j'ai été généreux cette fois-ci, à consulter à la fin
01:12de cette vidéo.
01:14Revenons à notre incertitude.
01:16Elle est considérée comme une dispersion et fait appel à des notions de statistiques.
01:21Les causes de cette dispersion, liées à différents facteurs, influent sur le résultat de mesurage, donc sur l'incertitude, et
01:28in fine, sur la qualité de la mesure.
01:31Il existe dans la pratique de nombreuses sources possibles d'incertitude dans un mesurage.
01:36Voici une petite liste.
01:38En vrac et sans toutes les cités, mais la vidéo sur pause si tu veux toutes les lire, tu as
01:43le prélèvement, est-il représentatif du milieu duquel il provient, le transport, réfrigéré ou non, l'étalonnage de l'appareil
01:50de mesure, récent ou ancien, les conditions ambiantes dans le laboratoire, température, hygrométrie, l'expérience du technicien ou de la
01:58technicienne qui va faire l'analyse.
02:00Tout ceci va jouer sur l'incertitude de mesure, sur la sensibilité de l'appareil de mesure, sur sa résolution,
02:07son exactitude, sa fidélité ou sa justesse, voire l'atelier MET numéro 2, son lien est dans la description.
02:14Catalogue de vidéos, onglet métrologie.
02:17Ces sources ne sont pas nécessairement indépendantes, et naturellement, un effet systématique non mis en évidence ne peut pas être
02:23pris en compte dans l'évaluation de l'incertitude du résultat d'un mesurage, mais il contribue à son erreur.
02:29L'incertitude de mesure, noté U majuscule, pour un certain T, qui veut dire incertitude en anglais, est la dispersion
02:36des valeurs pouvant être attribuée à une grandeur mesurée, le mesurande.
02:40Il existe plusieurs types d'incertitudes.
02:43La première, l'incertitude type.
02:46C'est une incertitude du résultat d'un mesurage exprimé sous la forme d'un écart type.
02:51La seconde, l'évaluation de type A de l'incertitude.
02:55C'est une méthode d'évaluation de l'incertitude par l'analyse statistique de série d'observations.
03:01La troisième, l'évaluation de type B de l'incertitude.
03:05C'est une méthode d'évaluation de l'incertitude par des moyens autres que l'analyse statistique de série d
03:10'observations.
03:11Et je vais ouvrir une parenthèse concernant ces évaluations de type A et B.
03:16Voici un diagramme qui affiche leurs différences.
03:19Dans le type A, à gauche, tu disposes de N mesures, sur lesquelles tu vas appliquer un traitement statistique, via
03:26la loi normale ou gaussienne, pour déterminer l'incertitude type, qui te conduira à l'incertitude composée, qu'on verra
03:32après.
03:32Dans le type B, à droite, tu disposes d'une seule et unique mesure, sur laquelle tu vas faire une
03:44approche probabiliste, pour déterminer la loi de répartition qui va te donner l'incertitude type, qui te conduira à l
03:50'incertitude composée, qu'on verra après.
03:52Et en définissant un intervalle de confiance, tu auras une incertitude élargie, qu'on verra aussi après.
03:58Tu ne pensais pas que c'était aussi technique que ça, n'est-il pas ?
04:02Pour toi, tu prends ta mesure, tu en fais plusieurs pour être sûr, tu calcules la moyenne pour avoir une
04:08bonne estimation, et basta.
04:10Que déni !
04:11Mais pas de panique, si tu appliques ce que je vais te montrer, tout se passera bien, promis.
04:17Parenthèse fermée, on revient à nos types d'incertitude.
04:20La troisième, l'incertitude type composée.
04:24C'est une incertitude type du résultat d'un mesurable lorsque ce résultat est obtenu à partir des valeurs d
04:29'autres grandeurs, égale à la racine carrée d'une somme de termes.
04:33Ces termes sont les variances, ou covariances, de ces autres grandeurs, pondérées selon la variation du résultat de mesure, en
04:40fonction de celle de ces grandeurs.
04:42Reste cool, ce blabla est transformé en formule en fin de vidéo.
04:46La quatrième, et dernière, l'incertitude élargie.
04:50C'est une grandeur définissant un intervalle, autour du résultat d'un mesurage, dont on puisse attendre à ce qu
04:56'il comprenne une fraction élevée de la distribution des valeurs qui pourraient être attribuées raisonnablement ou mesurantes.
05:02Bref, quand tu fais une mesure avec un appareil, la valeur affichée est livrée avec une foultitude de contraintes qu
05:08'il te faudra déterminer pour vérifier sa véracité, et agir en conséquence en fonction du protocole mis en place.
05:15Paragraphe suivant, dans lequel je vais énoncer quelles sont ces erreurs de mesure.
05:19C'est parti !
05:21Les causes de la dispersion, dues à l'influence des différents facteurs du processus de mesure, interviennent dans le résultat
05:27de mesurage, donc sur l'incertitude.
05:30Il faudra tenir compte de trois types d'erreurs.
05:33La première, l'erreur aléatoire, la seconde, l'erreur systématique, et la dernière, l'erreur de négligence.
05:40Et c'est en toute logique que dans le paragraphe suivant, on commence par la première, l'erreur aléatoire.
05:46C'est parti !
05:48Lorsqu'un même opérateur, ou une même opératrice, répète plusieurs fois, et dans les mêmes conditions, le mesurage d'une
05:55même grandeur, avec le même appareil, en suivant le même protocole, les valeurs mesurées peuvent être différentes.
06:01On parle alors d'erreur de mesure aléatoire.
06:05Ces erreurs proviennent des appareils de mesure, seuil de mesure, résolution, etc.
06:10Des conditions extérieures, température, pression, hygrométrie, etc.
06:15Des erreurs de lecture, ou de parasite, pas ces petites bêtes qui s'accrochent sur les plus grosses pour avoir
06:20le gîte, le couvert, et leur protection,
06:23mais les phénomènes divers et variés qui perturbent la quantification de la mesure par l'appareil.
06:28Par définition, cette erreur de mesure aléatoire est le résultat d'un mesurage, moins la moyenne d'un nombre infini
06:34de mesurage d'un même mesurant, effectué dans des conditions de répétabilité.
06:39Et qu'est-ce donc que cette répétabilité ?
06:41C'est un ensemble de conditions de mesure qui comprennent la même procédure de mesure, les mêmes opérateurs, ou opératrices,
06:48le même système de mesure, les mêmes conditions de fonctionnement, et le même lieu,
06:52ainsi que des mesurages répétés sur le même objet, ou des objets similaires, pendant une courte période de temps.
06:59Bien entendu, la définition de l'erreur aléatoire, et celle de la répétabilité, sont à apprendre par cœur.
07:06Je t'affiche la traduction graphique de cette erreur aléatoire, qui représente l'écart entre la valeur moyenne des mesures
07:12effectuées, et une mesure quelconque.
07:15Peut-être il te sera plus simple d'apprendre la définition avec ce schéma qu'avec le précédent blabla, n
07:20'est-il pas ?
07:21Le choc de la photo, le poids des mots pour ton jeune cerveau gavé de réseaux sociaux.
07:26Ces erreurs aléatoires sont donc essentiellement des variations temporelles et spatiales non prévisibles des grandeurs d'influence.
07:32Il n'est pas possible de compenser l'erreur aléatoire d'un résultat de mesure, elle peut cependant être réduite
07:38en augmentant le nombre de mesures.
07:40L'incertitude associée est une incertitude de répétabilité de type A, évaluée par des méthodes statistiques qui mettent en jeu
07:47la moyenne et l'écart type, et issue de l'exploitation d'un nombre important de valeurs mesurées.
07:52Par exemple, consignons ci-dessous les mesures de masse d'un volume d'eau de 20 millilitres, donc 20 grammes,
07:58à l'aide d'une balance.
07:59Les résultats sont inscrits dans ce tableau.
08:02L'histogramme est un outil très utile pour se rendre compte, en un coup d'œil, de la disparité des
08:07mesures, et voici celui qui découle du tableau de mesure.
08:11La mesure, 20,9 grammes, est une erreur systématique, ou de négligence, car trop éloignée des autres.
08:18Elle sera supprimée.
08:20Je réaffiche le tableau corrigé.
08:23Les autres mesures sont regroupées, et leur moyenne va être calculée.
08:27Je te rappelle qu'une moyenne, c'est la somme des valeurs, divisée par leur nombre, ce qui donne 20
08:32,1.
08:33La détermination de l'incertitude élargie, notée U de X, se fera grâce à la formule suivante.
08:40U de X égale à K fois sigma, N-1, sur racine carrée de N.
08:45K est le coefficient d'élargissement, déterminé grâce à la loi de Student.
08:50Sigma, N-1, est l'écart-type.
08:54N est le nombre de mesures effectuées.
08:57La valeur de K, qui dépend du nombre de mesures, notée N, et de l'intervalle de confiance choisi, se
09:03détermine via le tableau ci-après.
09:05Bigger Fichter Saperi Piplette
09:08C'est quoi cette courbe de l'enfer ? C'est quoi cet alpha mentionné dans cette courbe ?
09:12Mais surtout, c'est quoi ce tableau à double entrée au temps rempli de nombres à 4 décimales ?
09:17Faut-il l'apprendre par cœur ?
09:20Pause
09:21Il est essentiel à cet instant de faire un petit interlude mathématique pour apporter des éclaircissements indispensables,
09:27et quelques outils statistiques et probabilistes nécessaires, pour la compréhension de ce qui va suivre.
09:33Par contre, bois un verre d'eau, mange un morceau, étire ton dos, aère ton cerveau, prépare ton stylo, ça
09:39va être relativement costaud.
09:41C'est parti !
09:43Tu te souviens de cette image ?
09:45Je te propose de faire l'étude approfondie des trois premières étapes, et pour échauffer tes neurones, on commence par
09:51le type B, plus simple.
09:53Tu fais une seule mesure, donc c'est une erreur de type B, ce qui oblige une approche probabiliste.
09:59La distribution sera normale, d'un point de vue mathématique, ce qui implique que ce sera une distribution de probabilité
10:05continue, appelée aussi distribution gaussienne, et ça donne ça graphiquement.
10:10C'est une courbe de la loi normale, en forme de cloche, symétrique par rapport à la moyenne, la lettre
10:16grecque mu en abscisse au niveau des poitiers, et c'est codé ainsi.
10:20J'informe, ou je rappelle, que cette lettre n, en luminée, désigne la loi de probabilité normale, la lettre grecque
10:27mu est la moyenne, sigma l'écart-type, et sigma carré la variance.
10:31Petite remarque à retenir, on ne sait jamais, la courbe culmine si l'écart-type est petit, courbe bleue, et
10:37elle s'étale si l'écart-type est grand, courbe rouge.
10:40Sachant qu'il existe un nombre illimité de lois normales, les mathématiciens ont simplifié avec la loi normale centrée réduite,
10:47de paramètres mu égal à 0, et sigma égal à 1, noté ainsi.
10:52Conséquence, la courbe est désormais symétrique par rapport à 0, comme ces trois courbes de gauze colorées.
10:58Et toujours cette petite remarque à retenir, on ne sait vraiment jamais, ça peut être-t-il un jour très
11:03proche, la courbe culmine si l'écart-type est petit, courbe bleue, et elle s'étale si l'écart-type
11:08est grand, courbe beige.
11:10Ces courbes ne sont pas des gadgets inventés pour endommager les jeunes cerveaux des élèves, contrairement à ces réseaux sociaux
11:15gérés par des escrocs et des pédos, mais parce qu'elles ont une utilité remarquable.
11:19En effet, les valeurs en abscisse sont les unités d'écart-type.
11:24Entre 0 et plus ou moins 1 sigma, tu auras 68,3% des observations, ce qui se matérialise ainsi
11:31sous la courbe.
11:32Cette surface colorée représente 68,3% de la surface contenue sous la courbe.
11:39Bravo, tu viens tout juste d'apprendre que la loi normale est une loi de probabilité surfacique.
11:44Pas trop de bobos au cerveau ?
11:46Ne perds pas de temps à tapitoyer, il faut inexorablement avancer.
11:51Entre 0 et plus ou moins 2 sigma, tu auras 95,4% des observations, ce qui se matérialise ainsi
11:58sous la courbe.
11:58Cette surface colorée représente 95,4% de la surface contenue sous la courbe.
12:05Entre 0 et plus ou moins 3 sigma, tu auras 99,7% des observations, ce qui se matérialise ainsi
12:12sous la courbe.
12:13Cette surface colorée représente 99,7% de la surface contenue sous la courbe.
12:20La règle 68,95,99,7, règle des 3 sigma, ou règle empirique, indique pour une loi normale la proportion
12:29des valeurs se trouvant dans des intervalles centrés autour de la moyenne, que je résume dans ce tableau.
12:34Je te rappelle qu'on fait tout ça pour trouver la valeur de K, le coefficient d'élargissement, indispensable dans
12:40la formule du calcul de l'incertitude élargie U.
12:43En bref et en clair, si tu veux un intervalle de confiance de 68%, tu prends K égale à 1.
12:49Si tu veux 95%, tu prends K égale à 2.
12:53Si tu veux 99,7%, tu prends K égale à 3.
12:58En métrologie dans les sciences expérimentales que sont la physique, la chimie, et la biologie, tu vas vite te rendre
13:04compte que les 95% sont présents dans toutes les déterminations de mesurande, que ce soit par mesure ou par
13:10calcul, donc la valeur normale de K sera 2.
13:13A ajouter dans un coin accessible de ton cerveau.
13:17Tu te souviens encore de cette image après tout ce que je viens de t'envoyer en pleine tronche.
13:21Il est maintenant temps de faire l'étude approfondie des trois premières étapes de l'erreur de type A, et
13:26tu vas rentrer dans un monde inconnu, et incongru, pour l'élève que tu es.
13:31Mais pas d'inquiétude à avoir, ça va bien se passer.
13:34Tu fais grand N mesure, donc c'est une erreur de type A, ce qui implique une approche statistique.
13:40Tout va dépendre de la taille de l'échantillon.
13:43Si grand N est inférieur ou égal à 30, il va falloir utiliser la loi de Student, que tu vas
13:48découvrir dans quelques instants, en version allégée.
13:51Si grand N est strictement supérieur à 30, tu opteras pour une loi normale, vue précédemment dans les erreurs de
13:57type B.
13:58Pourquoi ce changement de loi à partir d'un effectif de 30 ?
14:02L'explication est simple, la différence entre le coefficient d'élargissement cas de ces deux lois devient tellement faible au
14:08-delà de 30, que pour des raisons évidentes de simplicité, ce passage de la loi de Student à la loi
14:14normale s'est imposé.
14:15Je t'affiche à droite un tableau mettant en relation les valeurs des coefficients d'élargissement suivant ces deux lois,
14:21pour un intervalle de confiance de 95%, pour un nombre de mesures allant de 2 à l'infini.
14:26Je t'entadre le bas du tableau pour que tu constates qu'à partir de 31 mesures, la différence, indiquée
14:32en dernière colonne, est de 4,20%, pour s'annuler à l'infini, ce qui est dérisoire.
14:38Le scientifique expérimental ne s'embarrasse pas avec le superflu, à tel point que la véritable valeur de cas, 1
14:45,96, a été arrondie à 2.
14:48Là où ça devient un peu technique concernant la loi de Student, c'est un tout petit paramètre qui va
14:53grandement influer sur la valeur de cas.
14:55C'est le degré de liberté, abrégé en DDL, noté nu, la lettre grecque, parfois petit n, égal à l
15:02'effectif retranché de 1, visible dans la seconde colonne du tableau.
15:06Pour nu égal à 1, k égal à 12,7062, et pour nu égal à 9, k égal à 2
15:12,2622, bien entendu pour un intervalle de confiance de 95%.
15:18Seulement, si on veut la valeur de cas sur un autre intervalle, comment l'obtenir ?
15:23Tu te souviens de ça ?
15:25C'est l'outil qui va nous le permettre.
15:27Dans la première colonne, le degré de liberté.
15:31La zone sous la courbe qui nous intéresse est la blanche en son centre.
15:35Alpha est une valeur comprise entre 0 et 1, et représente une proportion.
15:40Si je veux un intervalle de confiance de 95%, ceci implique que, un moins alpha, égal à 0,95, donc
15:48alpha égal à 0,05.
15:51Cette colonne est donc celle des 95%.
15:54Si on applique le même raisonnement, cette colonne sera celle des 99%.
15:59Je te laisse faire le calcul pour les autres.
16:02Seulement, quel est le lien avec le degré de liberté ?
16:05J'y arrive.
16:07Je vais te donner un exemple concret.
16:10Tu as effectué 6 mesures, ce qui implique que ton degré de liberté est égal à 5.
16:15Tu reprends le tableau, et tu vas te positionner sur la ligne correspondante, que j'entoure en orange.
16:21À 95%, par lecture de tableau, c'est-à-dire dans cette colonne matérialisée en violet, le croisement avec la
16:28ligne orange donne la valeur de ce coefficient d'élargissement K, égal à 2,5706, que tu pourras arrondir à
16:342,6, voire même 3, en fonction du contexte de l'exercice et des directives laissées dans l'énoncé.
16:41Bien entendu, ce tableau n'est pas à apprendre par cœur, c'est un document qui est mis à disposition
16:46dans tous les centres d'examen.
16:48Une fois que tu as compris son principe de fonctionnement, tout devient simple, à condition de ne pas te tromper
16:54de ligne ou de colonne.
16:56Maintenant que tu as toutes les informations, l'interlude mathématique est officiellement clôturée, on retourne à nos chiffres.
17:02Je présume qu'avec tout ce que j'ai pu te raconter dans l'interlude mathématique, tu as un peu
17:07oublié la cause de tout ça.
17:09Voici l'énoncé de l'exercice responsable, la moyenne des valeurs du tableau, et la formule pour calculer l'incertitude
17:15élargie.
17:16Dans cette formule, le coefficient d'élargissement K, la raison principale de l'interlude, et l'écart-type.
17:23Le calcul de l'écart-type se fait via la formule suivante.
17:27Une belle bestiole, n'est-il pas ?
17:29Je rappelle que N est l'effectif, XI est la, yème valeur, dans le tableau, et X barre la moyenne.
17:36Quant à ce sigle qui ressemble à un E majuscule, c'est le symbole représentant la somme.
17:41L'écart-type est une mesure de dispersion des données autour de la valeur moyenne, la dispersion est d'autant
17:47plus grande que l'écart-type est grand.
17:49Je t'épargne les calculs, l'écart-type est égal à 0,202759, il y a 9 mesures dans le
17:56tableau.
17:56Je te rappelle la formule qui donne l'incertitude élargie U, tu remplaces par les valeurs numériques, et tu obtiens
18:020,0675 et 863 fois K, que tu vas arrondir à 0,1K.
18:09La mesure sera écrite sous cette forme.
18:12X égale à X barre, plus ou moins grand U de X.
18:16Donc, M sera égale à, 20,1, plus ou moins 0,1K, gramme.
18:22Maintenant, il faut déterminer la valeur de K.
18:25Pour ce faire, il faut reprendre la table de Student.
18:29Le tableau avait 9 mesures, donc le degré de liberté est égal à 8.
18:33J'entoure en orange la ligne correspondante.
18:36Pour un intervalle de confiance de 95%, colonne violette, la valeur de K sera 2,3060, arrondie à 2, donc
18:45N est égale à 20,1, plus ou moins 0,2, gramme.
18:50A 99%, colonne marron, la valeur de K sera 3,3554, arrondie à 3, donc N est égale à 20
18:58,1, plus ou moins 0,3, gramme.
19:02Maintenant, tu sais utiliser cette table de Student pour trouver la valeur du coefficient d'élargissement en fonction de la
19:08taille de l'échantillon de mesure.
19:10Je dois maintenant attirer ton attention sur un point très important au niveau de la rédaction du résultat, pour ne
19:16pas qu'il soit automatiquement considéré comme faux.
19:19La mesure et son incertitude associées doivent avoir le même nombre de décimales.
19:24Prenons par exemple une masse, 123,45 kg.
19:28La finesse et la justesse de l'appareil de mesure nous affirment l'exactitude des 4 premiers chiffres de cette
19:33masse.
19:34Par contre, on a une incertitude sur le 5, qu'il faut déterminer, c'est-à-dire chiffrer.
19:40Il serait donc illogique d'écrire par exemple, 123,45, plus ou moins 0,006, kg, pour une confiance à
19:4999%.
19:50Deux décimales pour la valeur, trois pour l'incertitude, c'est choquant.
19:55Par cohérence, il faudrait arrondir cette incertitude à la valeur la plus proche, ici supérieure, et écrire, 123,45, plus
20:03ou moins 0,01, kg, pour une confiance à 99%.
20:09Désormais, ton attention sera requise pour garantir l'harmonie de tes résultats, que ce soit en mesure comme en calcul.
20:16Paragraphe suivant, dans lequel je vais aborder le deuxième type d'erreur de mesure, les systématiques.
20:22C'est parti !
20:23Contrairement à l'erreur aléatoire, l'erreur systématique, incertitude de type B, ne peut pas être réduite en augmentant le
20:30nombre de mesures, car elle prend toujours la même valeur à chaque mesure.
20:35On peut la considérer comme une erreur constante qui affecte chacune des observations.
20:39L'erreur systématique peut être quantifiée, et si elle est significative par rapport à la précision requise du mesurage, une
20:46correction peut être appliquée au résultat pour la réduire, ou la supprimer.
20:50Par définition, l'erreur systématique est la moyenne qui résulterait d'un nombre infini de mesurage du même mesurant, effectué
20:57dans des conditions de répétabilité, moins une valeur vraie du mesurant.
21:01Et qu'est-ce donc que cette répétabilité ?
21:04C'est un ensemble de conditions de mesure qui comprennent la même procédure de mesure, les mêmes opérateurs, ou opératrices,
21:11le même système de mesure, les mêmes conditions de fonctionnement, et le même lieu, ainsi que des mesurages répétés sur
21:17le même objet, ou des objets similaires, pendant une courte période de temps.
21:22Bien entendu, la définition de l'erreur systématique, et celle de la répétabilité, sont à apprendre par cœur.
21:29Je t'affiche la traduction graphique de cette erreur systématique, qui représente l'écart entre la valeur vraie et la
21:35valeur moyenne d'une infinité de mesures.
21:38Peut-être il te sera plus simple d'apprendre la définition avec ce schéma qu'avec le précédent blabla, n
21:43'est-il pas ?
21:43Le choc de la photo, le poids des mots pour ton jeune cerveau gavé de réseaux sociaux
21:49Il existe de nombreuses sources d'erreurs systématiques, par exemple l'effet des grandeurs d'influence, température, pression, etc.
21:56L'erreur de justesse des instruments, décalage du zéro, chronomètre mal calibré, etc.
22:02Un défaut d'étalonnage, la position de l'objet mesuré, une erreur de parallaxe dans la lecture, une erreur de
22:08méthode, le vieillissement des composants,
22:10ou la perturbation due à la présence des instruments d'observation.
22:14Dans la pratique, différentes méthodes sont utilisées pour détecter et évaluer ces erreurs.
22:19La première, mesurer la même grandeur avec un instrument différent.
22:24Si les valeurs ne concordent pas, il y a un appareil de mesure qui est déréglé.
22:29Sinon, ça ne vient pas de là.
22:31La seconde, mesurer la même grandeur avec des méthodes différentes.
22:35Par exemple, au lieu d'utiliser un mètre ruban pour mesurer une distance, tu choisis un télémètre laser.
22:42La troisième, mesurer une grandeur étalon, ce qu'on appelle un contrôle de la justesse.
22:47En fonction de l'affichage de la mesure, il faudra tirer les conclusions qui s'imposent.
22:53La dernière, mesurer un même mesurande dans des laboratoires différents.
22:57Ceci permet généralement de trouver les ensembles de paramètres qui influent sur le mesurage,
23:02et de modifier le processus pour les rendre inopérants.
23:05Dans ce cas où la méthode statistique est inapplicable,
23:08l'incertitude doit être estimée à partir de toutes les informations disponibles
23:12au sujet de la variabilité possible de la grandeur d'entrée.
23:16Ces informations peuvent provenir des résultats de mesure antérieure,
23:19de l'expérience ou de la connaissance générale du comportement,
23:22et des propriétés des matériaux et instruments utilisés,
23:25des spécifications du fabricant,
23:27des données fournies par des certificats d'étalonnage,
23:30ou de l'incertitude assignée à des valeurs de référence provenant d'ouvrages et de manuels.
23:35L'estimation de l'incertitude dépend alors du cas de figure rencontrée,
23:38et dans chaque cas, il faudra impérativement chiffrer,
23:41avec la meilleure précision possible,
23:44cette erreur systématique pour vérifier la validité,
23:46ou pas, de la mesure.
23:48Le but est de comprendre le résultat de la mesure,
23:51conforme ou non,
23:52et d'apporter une correction efficace et pérenne si besoin.
23:56Et quoi de mieux que des exemples concrets pour rendre tout ça un peu moins abstrait ?
24:00On commence avec les instruments analogiques.
24:03Dans le cas où la mesure est lue sur une échelle graduée,
24:06comme une règle, un vernis, un cadran, etc.,
24:10l'incertitude élargie, notée grand U de X,
24:12est estimée à partir de la valeur d'une graduation delta.
24:16Grand U de X est égal à K,
24:18facteur de delta sur racine carrée de 12,
24:21avec bien évidemment K, le coefficient d'élargissement.
24:24Ceci est la photo d'une partie d'un thermomètre alcool.
24:28Tu vois le 20 degrés Celsius au bout de la graduation fléchée ?
24:32Ici, c'est 21 degrés, la 22 degrés,
24:35ici 23 degrés,
24:36et la 24 degrés au bout de la colonne rouge.
24:39Entre ces valeurs, une petite graduation,
24:42ce qui implique que delta est égal à 0,5 degrés Celsius.
24:46On est sur une seule mesure,
24:48donc erreur de type B, loi normale,
24:50ce qui implique que pour avoir un intervalle de confiance de 95%,
24:54il faut prendre K égale à 2.
24:57Remplacement par les valeurs numériques dans la formule,
24:59et grand U de θ est égal à 0,29 degrés Celsius,
25:03arrondi à 0,3.
25:05Par conséquent,
25:06la température indiquée par ce thermomètre sera de
25:0924,0, plus ou moins 0,3, degrés Celsius.
25:14Une décimale pour la valeur et son incertitude,
25:17donc tout est bon.
25:19Écouïde des instruments numériques.
25:21Dans le cas où la mesure est numérisée,
25:23elle est quantifiée avec un pas, noté delta,
25:26qui correspond à la résolution de l'appareil.
25:28Grand U de x est égal à K,
25:31facteur de delta sur racine carrée de 3,
25:33avec de nouveaux cas,
25:34le coefficient d'élargissement.
25:36Ceci est la photo de l'écran d'une balance numérique,
25:39de classe 2.
25:41Deux chiffres après la virgule,
25:42donc delta est égal à 0,01.
25:45On est sur une seule mesure,
25:47donc erreur de type B, loi normale,
25:49ce qui implique que pour avoir un intervalle de confiance de 95%,
25:53il faut prendre K égale à 2.
25:56Remplacement par les valeurs numériques dans la formule,
25:59et grand U de m est égal à 0,0155,
26:02arrondi à 0,01.
26:05Par conséquent,
26:06la masse indiquée par cette balance sera de
26:0854,45,
26:10plus ou moins 0,01,
26:12grammes.
26:13Deux décimales pour la valeur et son incertitude,
26:16donc tout est une nouvelle fois bon.
26:18Il y a aussi les incertitudes constructeurs.
26:21La notice d'un appareil donne habituellement des informations sur la précision de l'instrument,
26:26en renseignant la valeur de l'incertitude,
26:28ou tolérance,
26:29constructeur,
26:30qui peut être donnée telle qu'elle,
26:32c'est-à-dire plus ou moins 0,1 mm par exemple.
26:35Je t'affiche un extrait de notice d'un télémètre laser,
26:38et je t'encadre en bleu les tolérances constructeurs.
26:41Je vais te montrer un cas pratique.
26:44Voici un télémètre et sa documentation technique.
26:47Je vais prendre la tolérance typique,
26:49que j'entoure en bleu.
26:51L'écran de l'appareil contient trois mesures,
26:53on va s'intéresser à celle du bas.
26:56Si tu suis la documentation,
26:58l'écriture de la mesure sera
26:592,056,
27:01plus ou moins 0,002,
27:03mètre.
27:04Tu as vu, c'est simple.
27:07Mais il existe plus compliqué.
27:09Tu peux aussi les avoir sous la forme,
27:11pour 100 V,
27:12plus N fois D,
27:13somme du pourcentage de la valeur affichée,
27:15et N fois la plus petite puissance de 10 affichés,
27:18désigné par le terme,
27:20digit.
27:21Je t'affiche un extrait de la notice d'un multimètre,
27:24la tolérance constructeur entourée en bleu.
27:26Je vais te montrer un cas pratique.
27:29Voici un multimètre et sa documentation technique.
27:32Le mesurant est une différence de potentiel en tension continue,
27:36et focalise ton attention sur la valeur numérique
27:38en bas de l'écran de l'appareil,
27:40que j'entoure en vert.
27:42Sa valeur est de 353,55 V.
27:46La documentation indique qu'il faut prendre 0,05 % de la valeur,
27:50puis ajouter 5 digits,
27:52pour calculer l'erreur.
27:540,05 % de 353,55,
27:58ça fait 0,176 755,
28:01arrondi à 0,18 2 décimales,
28:04comme la valeur.
28:06Pour les 5 digits,
28:07il faut regarder la zone de la mesure.
28:11353,55 V,
28:12c'est proche de 500 V,
28:14donc le digit est 0,01,
28:16ce qui implique qu'il faut rajouter 0,05.
28:20L'incertitude sera la somme de ces deux nombres,
28:22soit 0,23 V.
28:25Si tu suis la documentation,
28:26l'écriture de la mesure sera,
28:29353,55,
28:30plus ou moins 0,23,
28:32V.
28:34Certes,
28:34c'est un peu plus long,
28:36mais ça se fait sans problème.
28:37Il existe une autre façon de faire.
28:40Tu peux aussi les avoir sous la forme,
28:42pour 100 V,
28:43plus pour 100 R,
28:44somme du pourcentage de la valeur affichée
28:46et du pourcentage de la valeur du calibre choisi pour la mesure.
28:50Je t'affiche un extrait de la notice d'un multimètre,
28:53la tolérance constructeur entourée en bleu,
28:55différente suivant le calibre.
28:57Je vais te montrer un cas pratique.
29:00Voici un multimètre et sa documentation technique.
29:03Le mesurant est une différence de potentiel en tension continue.
29:08Sa valeur est 234,2 mV,
29:11c'est proche de 200 mV,
29:12la plage de mesure.
29:14La documentation indique qu'il faut prendre 0,5% de la plage de mesure,
29:19plus 0,1% de la mesure affichée,
29:22pour calculer l'erreur.
29:240,1% de la valeur donne 0,1342,
29:28soit environ 0,1 mV.
29:30Le 0,5% de la plage de mesure,
29:33200 mV,
29:35correspond à 1,0 mV.
29:37L'incertitude élargie sera la somme de ces deux pourcentages,
29:41soit 1,1 mV.
29:43L'écriture de la mesure sera
29:45134,2,
29:46plus ou moins 1,1 mV.
29:49Oui, ça demande un peu plus de temps,
29:51mais il suffit de suivre les directives inscrites dans la notice,
29:55de savoir calculer,
29:56et ça se fait bien.
29:57Comme tu as pu le constater,
29:59aller jeter un coup d'œil dans la notice de l'appareil de mesure
30:02pour compulser ses caractéristiques,
30:04généralement rassemblées dans les dernières pages,
30:06ça permet de chiffrer correctement cette incertitude constructeur.
30:10Tu sais désormais ce qu'il te reste à faire dans ton prochain TP.
30:14Paragraphe suivant,
30:15dans lequel je vais aborder le troisième type d'erreur de mesure,
30:18celui de négligence.
30:20C'est parti !
30:22L'erreur est causée par l'inexpérience,
30:24le manque de formation,
30:25ou la mauvaise maîtrise de l'opérateur,
30:27et de l'opératrice.
30:29Par exemple,
30:30il n'est jamais judicieux de morceler les prélèvements,
30:33car les erreurs vont s'additionner.
30:34L'incertitude finale sera bien trop importante
30:37pour permettre à la mesure d'être exacte,
30:39c'est-à-dire fidèle et juste.
30:41Je dois prélever 20,000 ml d'une solution.
30:45A gauche de ton écran,
30:47j'affiche les tolérances de chaque pipette jaugé disponible dans le laboratoire.
30:51Avec une pipette de 5,000 plus ou moins 0,015 ml,
30:57il me faudra 4 prélèvements.
30:59Le volume total de pipetage sera de 4 fois,
31:025,000 plus ou moins 0,015,
31:06soit 20,000 plus ou moins 0,060 ml.
31:12Avec une pipette de 10,000 plus ou moins 0,020 ml,
31:17il me faudra 2 prélèvements.
31:19Le volume total de pipetage sera de 2 fois,
31:2210,000 plus ou moins 0,020,
31:26soit 20,000 plus ou moins 0,040 ml.
31:32Avec une pipette de 20,000 plus ou moins 0,030 ml,
31:37il me faudra un unique prélèvement.
31:40Le volume total de pipetage sera de 1 fois,
31:4320,000 plus ou moins 0,030,
31:46soit 20,000 plus ou moins 0,030 ml.
31:52Une erreur à 0,060 ml pour 4 prélèvements,
31:56qui passe à 0,030 ml avec un seul.
31:59Il n'y a pas photo.
32:01Seulement, si on ne te le dit pas,
32:03tu ne peux pas le savoir,
32:04et par ignorance,
32:05tu feras des manipulations
32:07qui vont conduire à des anomalies,
32:08de mesures ou de calculs
32:10qui seront, pour certaines, incompréhensibles.
32:13Je te rappelle que l'idéal
32:15est d'avoir des incertitudes
32:16les plus faibles possibles,
32:17d'où l'utilité de comprendre
32:18pourquoi ces erreurs existent,
32:20de pouvoir déterminer leurs valeurs numériques,
32:22comment elles peuvent influer
32:24sur le résultat de la mesure,
32:25et quels sont les processus
32:26qui permettent d'en réduire
32:27une bonne partie au strict minimum.
32:30Rappelle-toi de l'époque,
32:31pas si lointaine d'ailleurs,
32:33durant laquelle lire une mesure
32:34sur un écran ou un cadran
32:35représentait pour toi la valeur
32:37qui exprimait la réalité véridique
32:39du paramètre mesuré.
32:40Quelle naïveté !
32:42Désormais,
32:43tu sais que ton appareil de mesure
32:44est un menteur,
32:45non pas comme un arracheur de dents,
32:47mais comme une personne
32:48qui va te raconter les faits,
32:49mais suivant son point de vue,
32:51avec tous les biais que ça implique.
32:53L'information qu'il te donne
32:55doit de ce fait être pris
32:56avec des pincettes,
32:57et il faudra par conséquent
32:58l'encadrer
32:59avec un intervalle de vérité
33:00qui correspond à la quantification
33:02de ces biais susceptibles
33:03de fausser l'authenticité
33:04de ce qui doit être réellement perçu.
33:07Paragraphe suivant,
33:08en lequel je vais te donner
33:09les formules pour déterminer
33:11l'erreur de mesure globale
33:12quand il y a plusieurs sources.
33:14C'est parti.
33:15Une organisation en tableau
33:17permettra de rendre plus ludiques
33:18les formules
33:19que tu vas devoir apprendre.
33:21Voici le codage utilisé.
33:23Y est le mesurant
33:24à déterminer
33:25XI les valeurs connues
33:27par mesurage ou calcul.
33:29Première partie,
33:30si Y est la somme des XI,
33:32addition ou soustraction.
33:34Pour trouver le carré
33:35de l'incertitude de Y,
33:37représenté par le delta Y,
33:39il faudra faire la somme
33:40des carrés des incertitudes des XI,
33:42noté delta XI.
33:44Je te rappelle que tu cherches
33:45la valeur numérique de delta Y,
33:47donc il ne faudra pas oublier
33:48ici de faire la racine carré
33:50du résultat.
33:52Seconde partie,
33:53si Y est le produit des XI,
33:54multiplication et division.
33:57L'incertitude relative de Y,
33:59mise au carré,
34:00sera égale à la somme
34:01des carrés de celle des XI.
34:03Je te rappelle que tu cherches
34:04la valeur numérique de delta Y,
34:06donc j'espère que tu sais quoi faire
34:08pour l'isoler correctement.
34:10Troisième partie,
34:11si Y est une puissance de X.
34:14L'incertitude relative de Y,
34:16mis au carré,
34:17sera égale à la puissance au carré
34:19qui multiplie le carré
34:20de l'incertitude relative de X.
34:22Je te rappelle que tu cherches
34:24la valeur numérique de delta Y,
34:26donc j'espère que tu sais quoi faire
34:27pour l'isoler correctement.
34:29Quatrième partie,
34:31Y est une fonction affine de X.
34:33Très simple,
34:34le delta Y sera égale
34:36au coefficient directeur fois le delta X.
34:39Quant à l'incertitude élargie,
34:41elle sera égale à K fois delta Y,
34:43avec K le coefficient d'élargissement.
34:44Coucou le revoilou.
34:46Au lycée,
34:47il n'est pas rare qu'on te donne
34:49la formule adéquate dans l'exercice
34:50ou en travaux pratiques,
34:52mais après,
34:52il ne faudra compter que sur ta mémoire.
34:55Si elle est vacillante,
34:56il est temps pour toi de travailler
34:58pour qu'elle ne le soit plus.
35:00Voici un petit graphique intéressant
35:01qui met en relation la valeur vraie,
35:03la moyenne des mesures,
35:04et les deux erreurs,
35:06aléatoires et systématiques.
35:08Il indique que le résultat de la mesure
35:10sera égal à la valeur vraie,
35:11plus l'erreur aléatoire,
35:13plus l'erreur systématique.
35:15Pour faire plus simple,
35:17le résultat est égal à la valeur vraie,
35:19plus ou moins la somme des incertitudes
35:20sur l'ensemble des mesures.
35:23Paragraphe suivant,
35:24comment vérifier la concordance des valeurs,
35:26c'est-à-dire celles qui sont similaires,
35:28ou pas du tout ?
35:29C'est parti !
35:30Avant de commencer,
35:32il est évident pour toi
35:33que ces valeurs doivent posséder
35:34une incertitude pour être comparées.
35:37Sinon,
35:37c'est techniquement impossible à faire.
35:40Lorsque les intervalles
35:41qui représentent les valeurs
35:42possédant des incertitudes
35:44ont une certaine portion en commun,
35:45on peut affirmer qu'il y a concordance
35:47dans les limites de l'incertitude
35:49entre les deux valeurs.
35:51Premier exemple,
35:529 plus ou moins 5,
35:54et 6 plus ou moins 1.
35:55Quand tu traces les intervalles
35:57sur une règle graduée,
35:58c'est flagrant de constater
35:59que ces deux valeurs concordent
36:01puisque leurs intervalles
36:02ont une portion en commun,
36:03partie hachurée en bleu.
36:05Next.
36:07Exemple numéro 2,
36:082 plus ou moins 3,
36:096 plus ou moins 1,5.
36:12Ces deux valeurs concordent
36:13pour les mêmes raisons
36:14que l'exemple précédent.
36:16Next.
36:17Exemple numéro 3,
36:198,5 plus ou moins 0,5,
36:2111 plus ou moins 2.
36:23Ici,
36:24il y a concordance
36:25de justesse
36:26parce que les deux intervalles
36:27ont une borne commune
36:28de valeur 9.
36:30Next.
36:32Exemple numéro 4,
36:335 plus ou moins 1,
36:349 plus ou moins 2.
36:36Aucune concordance
36:37car leurs intervalles
36:38ne se superposent pas.
36:40Il faudrait généraliser
36:41l'affichage des intervalles
36:42d'incertitude
36:43dans la vie de tous les jours,
36:44par exemple lors des sondages
36:46aux présidentielles,
36:47pour que le peuple
36:47se rende compte
36:48qu'entre deux candidats,
36:49même si les valeurs
36:50de leur intention de vote
36:51sont différentes,
36:52les intervalles d'erreur
36:53se superposent,
36:54ce qui implique
36:55qu'il n'y a pas de favoris,
36:57comme veulent le laisser
36:57croire les merdias.
36:59Paragraphe suivant,
37:00dans lequel tu vas apprendre
37:01ce qu'est une incertitude absolue.
37:04C'est parti.
37:05Par définition,
37:07une mesure ne peut être
37:08une valeur unique exacte,
37:09mais doit être comprise
37:10dans un intervalle
37:11de valeur déterminée
37:12par un contexte,
37:13expérimental ou théorique.
37:15Toute mesure est donc
37:16entachée de ce qu'on appelle
37:17une incertitude.
37:19Je sais que tu sais,
37:20mais ça ne coûte rien
37:21de le répéter,
37:22et ça fait du bien
37:23à ton cerveau
37:24de l'entendre une fois de plus.
37:26Au contraire,
37:27les constantes mathématiques,
37:28comme Pi,
37:29ou E,
37:30ne possèdent pas
37:31d'incertitude,
37:32à noter dans un coin
37:33accessible de ton cerveau.
37:35Pour être rigoureux,
37:36on doit donc tenir compte
37:37de cette incertitude
37:38lors d'une prise de mesure,
37:39ou dans la définition
37:40d'une constante physique.
37:42L'incertitude absolue,
37:44notée delta x,
37:45nous permet de connaître
37:46la plage de valeur admissible
37:47d'une quantité x,
37:49ou une mesure,
37:50notée x tilde,
37:51a été réalisée
37:52pour définir cette quantité.
37:54Donc,
37:55x sera égal à x tilde,
37:56plus ou moins delta x.
37:58Sur une règle graduée,
38:00il faudra le représenter ainsi.
38:02Traduction,
38:03la variable x est comprise
38:04dans l'intervalle,
38:05x tilde moins delta x,
38:07x tilde plus delta x.
38:09En général,
38:10l'incertitude absolue
38:12possède un seul chiffre significatif.
38:14On remarque toutefois
38:15que les auteurs ont tendance
38:17à garder deux chiffres significatifs
38:18si le premier chiffre
38:19est un 1 ou un 2.
38:21Une chose est sûre,
38:22l'incertitude et la valeur mesurée
38:24doivent posséder
38:25le même nombre de décimales.
38:27Lorsqu'un calcul doit être réalisé,
38:29il faut le faire sans gestion
38:30des chiffres significatifs,
38:32puis ajuster les chiffres significatifs
38:34de x tilde en fonction
38:35de la valeur obtenue pour delta x.
38:37Par exemple,
38:38x tilde est égal à 78,596 mètre,
38:42delta x à 0,837 mètre.
38:46Un seul chiffre après la virgule,
38:48ce qui implique que x sera égal à
38:5078,6, plus ou moins 0,8 mètre.
38:55Attention à tes arrondis,
38:56la moindre erreur est impardonnable.
38:59Paragraphe suivant,
39:00dans lequel tu vas apprendre
39:01ce qu'est une incertitude relative.
39:03C'est parti.
39:05C'est le rapport de l'incertitude absolue
39:07sur le résultat de la mesure,
39:09et indique la précision de la mesure.
39:11En clair,
39:12l'incertitude relative est égale à
39:14delta y sur y,
39:16fois 100.
39:17Bien entendu,
39:19formule à apprendre par cœur.
39:21Contrairement à l'incertitude absolue,
39:23elle n'a pas d'unité,
39:24et elle est souvent exprimée en pourcentage,
39:26d'où le fois 100,
39:27pour permettre de comparer plusieurs résultats.
39:29On lui attribue généralement
39:32en ou deux chiffres significatifs
39:33selon le contexte.
39:35Plus elle est faible,
39:36plus la mesure sera précise.
39:39Paragraphe suivant,
39:40dans lequel tu vas apprendre
39:41ce qu'est un écart relatif.
39:43C'est parti.
39:45Dans certains cas,
39:46la grandeur mesurée
39:47a une valeur déjà connue précisément,
39:49considérée comme une valeur de référence,
39:51notée xref.
39:53La qualité du résultat de la mesure,
39:55notée xmez,
39:56est obtenue par un calcul
39:58de l'écart relatif en pourcent.
40:00Le pourcentage d'erreur
40:02sera égal à la valeur absolue
40:03de xref moins xmez,
40:05sur xref, fois 100.
40:07Ici aussi,
40:08formule à apprendre par cœur.
40:10Si ce pourcentage est inférieur
40:12ou égal au pourcentage
40:13de l'incertitude relative,
40:15notée pour cent hier,
40:16la valeur est exacte,
40:18donc fiable.
40:19Sinon,
40:20la mesure ne l'est pas.
40:21Par exemple,
40:23soit une masse de référence
40:24de 50,00,
40:26plus ou moins 0,01,
40:28gras,
40:28et la masse mesurée
40:30est de 49,97,
40:32plus ou moins 0,01,
40:34grammes.
40:35L'incertitude relative
40:37est calculée à 0,02%.
40:40L'écart relatif
40:41est égal à 0,06%.
40:440,06 strictement supérieur
40:46à 0,02,
40:48donc l'écart relatif
40:49est au-dessus
40:50de l'incertitude relative,
40:51ce qui implique
40:52que la mesure n'est pas fiable.
40:54Dernier paragraphe,
40:55dans lequel je vais te montrer
40:56comment calculer le Z-score
40:58et quelle est son utilité.
41:00C'est parti.
41:01Il permet de vérifier
41:03la compatibilité
41:04de la mesure obtenue
41:05avec une valeur de référence.
41:07Pour le déterminer,
41:08il suffit de faire
41:09la valeur absolue
41:10de valeur mesurée
41:11moins valeur de référence
41:12sur l'incertitude élargie.
41:14Si Z est strictement
41:16supérieur à 2,
41:17il y a incompatibilité.
41:18La mesure n'est pas jugée
41:20convenable au regard
41:21de la référence.
41:22Si Z est strictement
41:24inférieur à 2,
41:25il y a compatibilité.
41:27La mesure est jugée
41:28compatible avec
41:29la valeur de référence.
41:31Reprenons le précédent exemple.
41:33Soit une masse de référence
41:35de 50,00,
41:36plus ou moins 0,01,
41:39grammes,
41:39et la masse mesurée
41:40est de 49,97,
41:43plus ou moins 0,01,
41:45grammes.
41:46Le Z-score sera égal
41:48à la valeur absolue
41:49de 49,97-50,00
41:52sur 0,01,
41:54ce qui donne 3.
41:56Le résultat est supérieur à 2,
41:58donc valeur incompatible,
41:59ce qui confirme
42:00ce que l'on savait déjà.
42:02L'atelier est désormais terminé.
42:04Tu as des questions ?
42:06Tu veux un complément
42:07d'information ?
42:09Rejoins-moi dans l'espace
42:10commentaire.
42:11Le cours complet en PDF,
42:13librement téléchargeable,
42:15est disponible dans la description
42:16de cette vidéo.
42:18Je t'ai mis à disposition
42:19des exercices à forger,
42:20leurs liens sont aussi disponibles
42:22en description.
42:23Prochaine vidéo sur l'encleum.
42:26Que la forge soit avec toi.
42:29Stay tuned.
42:30Tchuss.