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¿Los tensores suenan a monstruo matemático? Aquí verás que son una extensión práctica de escalares y vectores, y cómo explican la conductividad en materiales anisotrópicos. De la ley de Ohm a la relatividad general: descubre por qué los físicos los necesitan.
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0:00 - Por qué necesitamos tensores
3:01 - Conductividad y materiales anisotrópicos
6:08 - El problema con la ley de Ohm
7:32 - Cómo funciona un tensor
9:30 - Transformaciones y aplicaciones de los tensores
11:36 - El significado de los tensores
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TecnologíaTranscripción
00:00Si alguna vez te ha interesado la gravedad, los agujeros negros, la expansión del universo y todo eso, por ejemplo,
00:06si has visto videos sobre el tema en nuestro canal, seguro has oído hablar de la ecuación de Einstein y
00:11tal vez intentaste entender de qué están compuestas y qué significan todas esas letritas que contienen.
00:17Y si es así, seguro escuchaste que esta gran letra R con los índices mu y nu es el llamado
00:24tensor de Ricky, la G con esos mismos índices es el tensor métrico y la T mu nu el tensor
00:31de energía momento.
00:32Y normalmente en esa etapa termina el intento de adentrarse en el mágico mundo de las matemáticas de la relatividad
00:39general, porque la palabra tensor a muchísima gente, incluso relacionada con disciplinas científicas, le parece algo tediosamente incomprensible.
00:47Algo que los físicos y los matemáticos inventaron a propósito para burlarse del público ignorante, en realidad no es así.
00:55Las matemáticas en general no le sirven a los físicos para complicarse la vida, sino para simplificarla y los tensores
01:00no son la excepción.
01:02Básicamente, son una herramienta sumamente práctica y muy útil, sin la cual en algunas ramas de la física literalmente no
01:09se puede hacer nada.
01:09Y lo más importante, no hay nada extremadamente complejo en el concepto de tensor y en este video se los
01:15voy a demostrar.
01:16Aunque no les voy a mentir, en la práctica, resolver problemas con tensores es algo bastante tedioso y engorroso, y
01:23justo de ahí nacen historias como la del famoso meme.
01:37Pues bien, en nuestro video de hoy no habrá ningún delta alfa alfa prima, sino una explicación de la esencia
01:44del concepto de tensor y de dónde y cómo se utiliza en la física.
01:47Y a un nivel que estará al alcance de cualquiera que, al menos a grandes rasgos, recuerde las matemáticas de
01:53la escuela.
01:53A muchos estudiantes de física, y yo no fui la excepción, la relación con los tensores se les complica por
02:00una simple razón.
02:01Les presentan este concepto y sus matemáticas asociadas en el primer o segundo año, pero la aplicación real de los
02:09tensores, según la especialidad, suele comenzar en el tercero o cuarto.
02:14Es decir, primero les piden a los estudiantes aprender algo que parece un rollo matemático aburrido e incomprensible, y luego,
02:21durante dos o incluso tres largos años, no lo usan para nada.
02:24Y luego, de la nada, les echan encima un montón de ecuaciones con tensores, asumiendo que los estudiantes ya conocen
02:28el concepto, cuando en realidad, con el tiempo transcurrido, ya habían borrado de su memoria los tensores como si fueran
02:33una pesadilla.
02:34Y prácticamente tienen que volver a entender ese concepto desde cero, y además, al mismo tiempo que aprenden la materia
02:41en la que se toparon con los tensores.
02:43No me sorprende para nada que a la gente le explote la cabeza con esto, y que la palabra tensor
02:47les cause pesadillas hasta la vejez. Por eso, nosotros iremos por el camino contrario.
02:51Primero veremos el problema para cuya solución se necesitan los tensores, y luego entenderemos exactamente cómo nos ayudarán los tensores
02:58a resolver este problema.
03:00Así que, el problema...
03:01¿En qué dirección fluirá la corriente eléctrica en un material colocado dentro de un campo eléctrico?
03:07Normalmente, este problema se resuelve en un solo paso, con la ayuda de la llamada ley de Ohm en forma
03:11diferencial, que se escribe así.
03:13Aquí, junto a esa densidad de corriente, es decir, la cantidad que indica cuánta corriente fluye a través de una
03:18unidad de área de dicho conductor.
03:20Matemáticamente, la densidad de corriente es literalmente una magnitud relacionada con la velocidad a la que se mueven los portadores
03:25de carga,
03:26por ejemplo, electrones en un conductor colocado en un campo eléctrico.
03:29En esta fórmula, N es, la concentración de portadores en el material IQ es su carga.
03:33Y es lógico que la densidad de corriente sea proporcionada a la magnitud del campo que ponen en movimiento las
03:39cargas,
03:40con cierto coeficiente de proporcionalidad sigma, al que llaman conductividad eléctrica.
03:45Y, en general, todo simple. Tomamos el campo, lo multiplicamos por la conductividad,
03:49y obtenemos una magnitud que describe el movimiento de las cargas.
03:51Como multiplicamos un vector por un escalar, el resultado también será un vector, además dirigido en el mismo sentido que
03:58el campo.
03:58Pero hay materiales cuya conductividad funciona de una forma más interesante.
04:02Su magnitud depende de la dirección en la que apliquemos el campo.
04:06Un ejemplo práctico de estos materiales es el grafito,
04:09que consta de una gran cantidad de capas de átomos de carbono, unidos en hexágonos regulares.
04:13Dentro de cada capa hay una cantidad significativa de electrones libres que pueden moverse fácilmente en el plano de la
04:18capa.
04:18Pero le resulta difícil saltar entre capas,
04:21por lo que la conductividad eléctrica del grafito a lo largo de las capas,
04:25y a través de ellas difiere significativamente a lo largo de las capas es cientos de veces mayor
04:30que a través de ellas a tales materiales cuyas propiedades varían según la dirección en la que las estudiamos.
04:35En física se les llama anisotrópicos.
04:37Esta propiedad del grafito es bien conocida y se usa ampliamente en la tecnología,
04:42pero para nuestros propósitos una diferencia tan grande en la conductividad eléctrica no es muy conveniente,
04:46y es mejor tomar otro material anisotrópico, por ejemplo cristales de telurio,
04:50cuya conductividad en una dirección es aproximadamente el doble que en otra perpendicula.
04:53Hagámonos la pregunta, ¿cuál será la densidad de corriente, o en otras palabras,
04:58hacia dónde y cómo se moverán los electrones en el telurio si aplicamos un campo E en cierto ángulo,
05:03digamos a 45 grados del eje X, a lo largo del cual la conductividad del telurio es el doble de
05:09grande?
05:09En general, entender cómo calcular esto no es complicado.
05:12Dicho campo eléctrico se puede visualizar como la suma vectorial de campos en dos direcciones mutuamente perpendiculares,
05:17y calcular qué respuesta eléctrica provocará en el material cada uno de los componentes.
05:21Por ejemplo, al multiplicar el componente a lo largo del eje X por la conductividad a lo largo del eje
05:26X,
05:26obtenemos la densidad de corriente a lo largo del eje horizontal,
05:30y al multiplicar el componente a lo largo del eje Y por la conductividad a lo largo de este eje,
05:34obtenemos la densidad de corriente en la dirección Y.
05:37Ahora, podemos escribir cómo se verá el vector final de densidad de corriente,
05:40como coordenada en el eje X tendrá este valor,
05:43y como coordenada en el eje Y este otro.
05:45Si ahora recordamos que nuestro campo se aplicó con un ángulo de 45 grados respecto al eje X,
05:50es decir, Y underscore X es igual a E underscore Iqui,
05:53y la conductividad a lo largo del eje X es el doble de la conductividad a lo largo del eje
05:57Y.
05:57Es decir, sigma sigma underscore X es igual a dos sigma,
06:01entonces obtendremos esta expresión,
06:03y este será un vector dirigido con un ángulo de aproximadamente 26.6 grados respecto al eje X.
06:09Bueno, y ahora preguntémonos,
06:11¿podemos conservar para las propiedades eléctricas de tal cristal
06:14el mismo formalismo de notación de la ley de Ohm en forma diferencial?
06:17A primera vista, podría parecer que no.
06:20Efectivamente, teníamos un vector dirigido a un ángulo de 45 grados respecto al eje X,
06:25y obtuvimos un vector dirigido a un ángulo de 26.6 grados,
06:28y matemáticamente parece que no existe un objeto matemático por el cual podamos multiplicar un vector
06:34para obtener como resultado otro vector dirigido con un ángulo,
06:38por ejemplo, de 18.4 grados respecto a su dirección original.
06:43Y es verdad, si la conductividad sigma sigue siendo un escalar,
06:47el resultado del producto será un vector con la misma dirección que el vector de intensidad del campo eléctrico.
06:53Si intentáramos usar un vector, los habituales productos escalar y vectorial no nos servirían.
06:58El primero da un escalar,
07:00y el segundo un vector perpendicular a los vectores originales,
07:03que no puede formar con ninguno de ellos,
07:05un ángulo de 18.4 grados.
07:07De ahí que nos resulta evidente que mantener el formalismo de la ley de Ohm
07:12con los objetos matemáticos que conocemos,
07:14para el caso de un cristal anisótropo,
07:16no va a funcionar,
07:17pero de verdad queremos conservarlo, ya que esta notación es muy conveniente.
07:20Y para lograrlo, nos sacamos un haz de la manga,
07:22introducimos un nuevo concepto,
07:24el tensor,
07:25y una nueva operación conocida como contracción,
07:28o, en palabras sencillas,
07:29la multiplicación de un tensor por un vector.
07:32Más bien, el concepto de tensor es una generalización y extensión de los conceptos que ya conocemos,
07:38vector y escalar.
07:40Un escalar, es decir, simplemente un número,
07:42se caracteriza por ese mismo número,
07:43y es un tensor de rango cero.
07:45Un vector caracterizado por dos números en un espacio bidimensional,
07:49tres en uno tridimensional,
07:50y así sucesivamente.
07:51Es un tensor de primer rango.
07:53Bueno, para mantener la forma general de la ley de Ohm en un cristal anisotrópico,
07:57su conductividad eléctrica debe describirse mediante un tensor de segundo rango,
08:02es decir, algo que en nuestro caso bidimensional se escribiría así,
08:05y en un espacio tridimensional real se vería de esta manera.
08:09Ahora introduzcamos la operación de multiplicación de un vector por un tensor.
08:12Matemáticamente se escribe así,
08:14pero no hay que asustarse,
08:15es bastante simple.
08:15Tomamos cada componente del vector y la multiplicamos sucesivamente por cada columna del tensor
08:21y luego sumamos los resultados.
08:24Comprobemos.
08:25La primera componente resulta ser E, E, X,
08:27es decir, E, 2 multiplicada por sigma, sigma, X,
08:30o sea, 2, 2, sigma, punto, I, más 0,
08:33esto será 2, Y, es una raíz cuadrada de 2.
08:36La segunda componente, 0, más 0, más E, Y,
08:39es decir, E, denjera 2, multiplicado por sigma, sigma, 2,
08:43o sea, simplemente sigma, al final obtenemos exactamente el vector que necesitamos,
08:47o sea, que todo salió bien.
08:48La ley de Ohm está a salvo y ahora se puede aplicar incluso en el caso de materiales anisotrópicos,
08:53simplemente sustituyendo la conductividad escalar por la tensorial.
08:57Este es, por supuesto, el caso más simple,
08:58porque tenemos un tensor de lo más sencillo,
09:00estrictamente de segundo orden y además diagonal,
09:03en el que los únicos componentes no nulos son los de la diagonal,
09:06y eso no siempre pasa.
09:07Por ejemplo, si las direcciones de nuestros ejes de coordenadas
09:10no coinciden con los ejes de simetría de nuestro cristal,
09:13entonces los cuatro componentes del tensor de conductividad eléctrica
09:16pueden no ser nulos,
09:17y nuestro cálculo no es que se vuelva más complejo en principio,
09:20pero sí mucho más tedioso.
09:22Por eso, a menudo conviene elegir el sistema de referencia,
09:25de modo que el tensor quede diagonal,
09:27y en esto, por cierto, radica una ventaja muy importante de los tensores.
09:31No es solo una tablita, sino un objeto matemático especial
09:34que se transforma correctamente al cambiar de sistema de coordenadas
09:37sin distorsionar la física.
09:39Por desgracia, esto no siempre es posible.
09:41Por ejemplo, si colocamos ese mismo cristal de teluro
09:43en un campo magnético, dicho campo,
09:45puede hacer que los electrones que se mueven,
09:47digamos, a lo largo del eje X,
09:48comiencen a desplazarse a lo largo del eje Hicklech.
09:51Además, este campo también puede ser interno,
09:54es decir, en cierto sentido,
09:55también sería una propiedad del propio material.
09:57Y resulta que, para tomar en cuenta este campo magnético interno,
10:01no necesitamos modificar nuestra ecuación de ninguna manera.
10:04Basta con cambiar la forma del tensor de conductividad eléctrica,
10:07agregándole las componentes sigma-hexi,
10:09sigma-sigma-six y sigma-six.
10:11Por eso digo que los tensores se inventaron
10:14para facilitarle la vida a los físicos,
10:17con su ayuda que pueden escribir de forma mucho más cómoda y compacta
10:20las ecuaciones que describen fenómenos físicos multicomponentes
10:23bastante complejos.
10:25Por ejemplo, para unificar en una sola entidad
10:27la electricidad y el magnetismo,
10:29que como sabemos son dos manifestaciones
10:30de un único campo electromagnético,
10:32resulta muy conveniente introducir
10:34el llamado tensor del campo electromagnético,
10:36que contiene las componentes de la intensidad
10:38de los campos eléctrico y magnético,
10:39lo que permite simplificar enormemente la escritura
10:42de las ecuaciones básicas de la electrodinámica.
10:44Más bien, a primera vista,
10:46estas nuevas ecuaciones parecen incluso más complejas,
10:48al menos porque no están escritas
10:49en el clásico espacio tridimensional,
10:51sino en uno de cuatro dimensiones.
10:52Pero cuando le agarras la onda a estas cosas,
10:55resulta que en verdad es más fácil y más práctico,
10:58y ni siquiera se trata de comodidad,
11:01esta forma de escribirlo está mucho más cerca
11:03de la esencia física de lo que ocurre.
11:04Un solo objeto, el campo electromagnético,
11:06se describe con una sola entidad,
11:08y resulta que esto es posible precisamente
11:10gracias a un tensor.
11:11La descripción tensorial resulta especialmente útil
11:13al pasar a la electrodinámica cuántica
11:15y a la teoría cuántica de campos en general,
11:17donde, sin esta misma descripción tensorial,
11:19literalmente no hay nada que hacer.
11:21Del mismo modo, tampoco es posible crear sin tensores
11:24una descripción matemática correcta
11:26de la teoría de la gravedad,
11:27la teoría de la relatividad general.
11:29Además, los tensores son completamente indispensables
11:31en áreas de la física,
11:32como la resistencia de materiales,
11:34la física de la conducción térmica,
11:35la óptica, etc.
11:36De este modo, el tensor resulta
11:38no ser una especie de monstruo matemático extraño
11:40e inexplicable,
11:41sino, en general,
11:42un desarrollo bastante comprensible y necesario
11:44para los físicos del concepto
11:45de magnitudes, escalares y vectoriales.
11:47Los escalares nos muestran los valores
11:49de las magnitudes físicas, los vectores,
11:51hacia dónde apuntan estas magnitudes
11:53y los tensores,
11:54cómo cambian estas magnitudes
11:55dependiendo de la dirección
11:56en la que observamos el sistema.
11:59Visualmente, es apropiado imaginarse
12:00un tensor como un erizo de vectores
12:02que nos da un vector en específico
12:04dependiendo de con qué vector
12:07lo estemos picando
12:09y no introdujimos este concepto
12:10porque los físicos estuvieran aburridos sin él,
12:12sino porque con él,
12:13describir los sistemas físicos
12:15y su comportamiento
12:15se volvió mucho más sencillo, por supuesto,
12:17para aquellos que entienden
12:19el lenguaje de las matemáticas tensoriales
12:21y saben cómo usarlo.
12:22En nuestros próximos videos
12:23seguiré mostrándoles de vez en cuando
12:25a mis estimados espectadores
12:26con ejemplos concretos
12:27que las matemáticas son, en realidad,
12:29la forma más sencilla
12:30de describir los fenómenos físicos
12:32y a la que de ninguna manera
12:33hay que tenerle miedo.
12:34Y me alegraría mucho
12:35si quisieran apoyar el desarrollo
12:36de nuestro proyecto
12:37convirtiéndose en patrocinadores aquí
12:39o en nuestras páginas de Patreon y Boosty.
12:41El enlace a esta última
12:42debería aparecer ahora en sus pantallas.
12:43Además, todos los enlaces necesarios
12:45estarán en la descripción del video.
12:46Bueno, eso es todo por hoy.
12:49Les deseo lo mejor a todos,
12:50queridos amigos,
12:51y nos vemos muy pronto
12:51en nuestros próximos videos.