¿Se puede descubrir cómo se comporta el universo sin resolver ecuaciones imposibles? Con el análisis dimensional, hasta una simple revisión de unidades revela pistas sobre péndulos, hélices y ondas de choque. Descubre este “atajo” fascinante que usan los físicos y mira cómo convierte lo complicado en algo sorprendentemente intuitivo. #Física #Ciencia #Universo
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0:00 - Qué es el análisis dimensional
1:39 - La caída de un objeto como ejemplo
4:09 - Galileo y el péndulo
5:15 - El análisis dimensional en fluidos
6:50 - Cálculo y diseño de hélices
9:19 - La onda de choque de una explosión
11:15 - El método en la ciencia actual
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TecnologíaTranscripción
00:00En nuestro canal hablamos mucho sobre teorías científicas avanzadas que permiten a los físicos
00:05adentrarse en los misterios del sutil mundo de las partículas elementales o cruzar, bueno,
00:10al menos en la imaginación, los enormes abismos que nos separan de las estrellas y otras galaxias.
00:15Por lo general, crear tales teorías requiere largos ejercicios matemáticos con fórmulas
00:19complicadas y su verificación implica instalaciones experimentales sumamente complejas que cuestan
00:24lo equivalente a un par de presupuestos anuales de países pequeños. Pero ¿qué pasaría si les
00:28dijera que en la física existe un método poderosísimo para conocer el mundo que nos
00:32rodea, cuya esencia es comprensible incluso para los estudiantes de secundaria que apenas
00:36empiezan a aprender física? ¿Y qué? A pesar de eso, sigue siendo una de las herramientas
00:41más importantes, incluso en los principales institutos científicos. Estoy hablando del
00:45método conocido como el método de análisis dimensional. Su esencia consiste en lo siguiente,
00:50todas las magnitudes físicas tienen una dimensión. Por ejemplo, la distancia se mide en metros,
00:54la masa en kilogramos, el tiempo en segundos, la velocidad en metros por segundo, la densidad
00:59en kilogramos por metro cúbico y así sucesivamente. Cualquier problema físico, en esencia, se reduce
01:04a describir cómo una u otra característica del sistema depende de los parámetros de ese
01:09sistema. Además, tanto esta característica como los parámetros son magnitudes físicas
01:15que tienen dimensiones y la fórmula para la característica que buscamos siempre debe cumplir
01:20una condición muy específica. Los parámetros del sistema de los que depende esta característica
01:27deben estar en la fórmula de tal manera que las dimensiones en ambos lados del signo de
01:31igualdad coincidan. Suena un poco confuso, pero en realidad es muy sencillo. Ahora lo
01:37mostraré con un ejemplo. Imaginemos que necesitamos obtener una fórmula para calcular cuánto tiempo
01:42tardará en caer un objeto lanzado desde una altura h en el campo gravitacional g hacia la superficie
01:47de la Tierra. La magnitud que buscamos, el tiempo de caída, se mide en segundos. Esta
01:52magnitud depende de la altura y de la aceleración de la gravedad. La primera se mide en metros
01:57y la segunda en metros por segundo al cuadrado. ¿Cómo obtenemos segundos de esto? Los segundos
02:02solo están presentes en la aceleración y además en el denominador. Entonces, hay que
02:07dividir por la aceleración de la gravedad y la longitud en metros debe estar en el numerador.
02:13Verificamos la dimensionalidad. Metros divididos entre metros por segundo al cuadrado nos
02:17da segundos al cuadrado. Necesitamos segundos en la primera potencia y por eso la solución más
02:21lógica será sacar la raíz cuadrada de toda esta expresión obteniendo esta fórmula. Y esta
02:27expresión, que obtuvimos únicamente a partir de consideraciones de dimensionalidad, resulta
02:33sorprendentemente cercana a la correcta. De hecho, podemos recordar que la distancia que recorre un
02:37cuerpo en un movimiento uniformemente acelerado durante un cierto tiempo T se determina con esta
02:42fórmula de donde es fácil obtener la dependencia de T respecto a H que tendrá esta forma. Al comparar
02:49esta expresión con la fórmula que obtuvimos usando el análisis dimensional, podemos ver que estas
02:53fórmulas son iguales salvo por el factor de 2 bajo la raíz. Es decir, si intentamos calcular el tiempo
02:59de caída usando nuestra fórmula obtenida por el análisis dimensional, por supuesto, obtendremos un
03:04resultado incorrecto. El tiempo resultará ser menor por un factor de raíz de 2 que el tiempo que
03:08realmente tomará la caída. Se dice que el análisis dimensional permite obtener relaciones para
03:13determinar magnitudes salvo por un coeficiente adimensional. En principio podríamos llevar hasta
03:19el final la obtención de la fórmula correcta mediante el análisis dimensional, hacer un experimento
03:24dejando caer un cuerpo real desde cierta altura y medir el tiempo de caída. Así sabríamos que el
03:29coeficiente adimensional es igual a la raíz de 2, después de lo cual nuestra fórmula tendría una forma
03:34completa. Sin embargo, incluso sin conocer ese coeficiente, la fórmula tiene cierta utilidad.
03:40Por ejemplo, nos permite comparar correctamente los tiempos de caída de cuerpos lanzados,
03:44por ejemplo, desde diferentes alturas o con diferentes valores de viaje.
03:48Por supuesto, para el problema de la caída de un cuerpo desde cierta altura, esto simplemente no
03:52tiene sentido. Es mucho más fácil resolver en un solo paso un simple problema matemático expresando
03:56unas magnitudes en función de otras. Sin embargo, esto es así solo porque la expresión que está en la
04:01base de la física del fenómeno que estudiamos ya la conocemos y además es muy sencilla, pero en la
04:06ciencia no siempre es así. No siempre. Por ejemplo, a finales del siglo XVI, uno de los más grandes
04:13físicos de todos los tiempos, Galileo Galilei, utilizó el método de las dimensiones para determinar
04:17el periodo de oscilación de un péndulo matemático. Correcto, este periodo de oscilación se determina
04:23resolviendo una ecuación diferencial como esta. Pero Galileo no la conocía. El concepto mismo de
04:28ecuaciones diferenciales, y mucho menos los métodos para resolverlas, aún no existía en
04:33esa época. Y para obtener la fórmula del periodo de oscilación, Galileo utilizó el método de análisis
04:38dimensional, componiendo la fórmula a partir de la longitud del hilo del péndulo y la aceleración
04:43de la gravedad. U, por coincidencia, obtuvo exactamente la misma expresión para el periodo
04:48de oscilación que obtuvimos antes para el tiempo de caída de un cuerpo desde una altura. El coeficiente
04:53numérico, que como sabemos hoy es igual a 2pi Galileo, no pudo obtenerlo con su método. Fue
04:58calculado después, casi 100 años más tarde, por Christian Huygens. Sin embargo, para Galileo ya era
05:04suficiente esta expresión, que le permitió ser el primero en usar las oscilaciones del péndulo como
05:09un medio para medir el tiempo, mucho más preciso que todo lo que existía en ese momento. Un ejemplo
05:15clásico de una situación en la que el método de análisis dimensional es literalmente una salvación
05:19para los físicos es la hidrodinámica y la aerodinámica. Un papel clave en ellas lo juega
05:24la llamada ecuación, o más bien el sistema de ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes,
05:27que en esencia es la ley de conservación de la cantidad de movimiento para un medio viscoso.
05:31Y resolver esta ecuación en forma general, lamentablemente, todavía no sabemos cómo
05:35hacerlo, lo que significa que tampoco podemos expresar a través de ella los parámetros del
05:39movimiento del fluido para cualquier sistema arbitrario, en general, no podemos. Es decir,
05:44los físicos hicieron su trabajo, formularon las ecuaciones, pero los matemáticos llevan
05:48ya 200 años sin poder resolver su tarea y mostrar cómo exactamente se debe resolver esta ecuación.
05:53Pero los físicos tampoco pueden simplemente echarle toda la responsabilidad a los matemáticos e irse a
05:57hacer otras cosas, mientras los matemáticos resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes.
06:01La hidrodinámica y la aerodinámica son ramas fundamentales de la física que resuelven
06:05directamente muchas tareas aplicadas y prácticas. Sin la aerodinámica computacional no existirían
06:10ni aviones ni helicópteros, ni siquiera embarcaciones marítimas, o mejor dicho, el desarrollo de todos
06:15estos medios de transporte solo podría haberse realizado por el método de prueba y error,
06:19y en el mejor de los casos habría tomado muchos siglos. En realidad, el progreso científico y
06:23técnico avanzó mucho más rápido, y en esto jugó un papel importante precisamente el método
06:27de análisis dimensional adoptado por físicos e ingenieros ante la falta de alternativas.
06:31Una de las tareas clave de la hidrodinámica y la aerodinámica es el cálculo de los parámetros
06:36de la hélice, por ejemplo, la fuerza de empuje que genera y la potencia requerida del motor que
06:40hace girar la hélice, así como el parto de torsión. Y así, las fórmulas clásicas para
06:44determinar estos valores en la aerodinámica y la hidrodinámica se obtienen precisamente
06:48mediante el método de análisis dimensional. Comenzamos por definir los parámetros clave
06:52que deben influir en el valor de estas magnitudes. En esencia, tenemos tres de estos parámetros.
06:57La densidad del medio, las dimensiones de la hélice, por ejemplo, su radio, así como un parámetro
07:01que caracteriza la velocidad de rotación de la hélice, por ejemplo, su velocidad angular.
07:06Es decir, si buscamos nuestras fórmulas en forma de un producto de estos parámetros
07:09elevados a ciertas potencias, nuestra tarea se reduce a determinar esas potencias.
07:14El empuje es una fuerza. Se miden newtons o kilogramos multiplicados por metros y divididos
07:18entre segundos al cuadrado. Ahora vamos a escribir las dimensiones de las cantidades a la izquierda
07:23del signo de igualdad. Vamos a reunir los exponentes de las potencias para las cantidades
07:26de un mismo tipo, es decir, para los kilogramos, metros y segundos. Los exponentes de las
07:31potencias para las mismas magnitudes físicas a la derecha y a la izquierda del signo de
07:35igualdad deben ser iguales para que las dimensiones finales coincidan. Obtendremos un sistema de
07:40ecuaciones lineales simples como este, que se puede resolver para obtener este resultado.
07:45Y al final, esta fórmula final, por supuesto, como trabajamos con el método de las dimensiones,
07:49obtenemos el resultado salvo por una constante adimensional, es precisamente en esa constante
07:54donde estarán, por ejemplo, todas las propiedades geométricas de la hélice, como la forma de sus
07:58balas y así sucesivamente. Y este valor no podemos obtenerlo en principio usando el método
08:02de las dimensiones, pero eso no es un problema. Siempre nos queda la opción de pedirle al propio
08:07universo que nos diga cuál será ese coeficiente para la hélice en este medio en particular,
08:12creando una pequeña copia de ella, haciéndola girar a la velocidad necesaria en el medio adecuado
08:16y midiendo el empuje que genera esa pequeña hélice. Y una vez que tengamos el valor del coeficiente,
08:22podremos calcular el empuje para una hélice de esa forma, de cualquier tamaño,
08:25en cualquier medio y para cualquier velocidad de rotación. De manera similar, también se pueden
08:31derivar las fórmulas para la potencia y el par motor. Resultarán ser así.
08:36E incluso sin conocer los coeficientes, estas fórmulas pueden darnos ciertas pistas sobre
08:41en qué dirección debemos avanzar al diseñar la hélice de una aeronave. Por ejemplo, es más
08:48eficiente aumentar el empuje de la hélice incrementando su radio que la fórmula está a la
08:52potencia, que aumentar la frecuencia de rotación que solo está al cuadrado. Por eso los helicópteros
08:57suelen estar equipados con hélices grandes y que giran relativamente despacio. Sin embargo,
09:02aquí puede surgir la pregunta de por qué entonces se prefiere equipar a los drones, por ejemplo,
09:06y especialmente a los drones pesados capaces de transportar una gran carga con una gran cantidad
09:11de hélices pequeñas. La respuesta a esta pregunta la dimos en detalle en uno de nuestros
09:15videos anteriores dedicado a los autos voladores.
09:19Y aquí hay un ejemplo más moderno. Los especialistas en hidrodinámica y teoría de
09:23ondas le pidieron a Geoffrey Taylor que creara una fórmula para calcular la velocidad de propagación
09:27de la onda de choque de una explosión nuclear en función de su potencia, o más precisamente,
09:32para determinar la distancia que la onda de choque recorrerá en el tiempo T desde el momento de la
09:36explosión. La tarea, de nuevo, es aerodinámica, es decir, no se puede calcular de manera estricta,
09:41y Taylor decidió utilizar el análisis dimensional. La distancia que está a la izquierda del signo
09:46igual se mide en metros. Entre los parámetros, obviamente, debemos tener el tiempo en segundos,
09:51así como la energía en gules o kilogramos por metro cuadrado dividido entre segundo al
09:55cuadrado, sustituimos las dimensiones. Los segundos aquí no los necesitamos en absoluto.
10:00Para que se cancelen, debemos elevar el tiempo al cuadrado, quedan los kilogramos y los metros
10:05cuadrados. Los kilogramos tampoco nos sirven en la fórmula para la distancia, así que hay que pensar
10:10cómo podemos deshacernos de ellos científicamente, cuál de las magnitudes que influyen en la propagación de la
10:15onda de choque contiene kilogramos. Bueno, por ejemplo, está la densidad del medio, de la cual
10:20la velocidad de propagación de la onda de choque realmente debería depender. Bueno, perfecto,
10:24entonces agreguemos la densidad del medio rho a nuestra fórmula y la pondremos en el denominador
10:29para cancelar los kilogramos. Pero la densidad es kilogramos por metro cúbico, y al final obtenemos
10:34que la dimensión de nuestra fórmula es metros a la quinta potencia. Bueno, pero nosotros necesitamos
10:39simplemente metros, así que llegamos a la conclusión de que de todo esto ahora necesitamos sacar la raíz
10:43quinta. Exactamente así razonó Taylor, e independientemente de él, por las mismas
10:48consideraciones, el físico soviético Leonid Zedov obtuvo exactamente el mismo resultado y ahora
10:54nosotros también. Solo queda determinar el valor de ese coeficiente adimensional. Esto solo se logró
11:00después de las primeras pruebas nucleares, y el coeficiente para una explosión en el aire resultó ser
11:04aproximadamente 1.03. La fórmula demostró ser altamente efectiva en los cálculos y se sigue
11:11utilizando en la modelación matemática de explosiones nucleares hasta el día de hoy.
11:15El análisis dimensional sigue siendo utilizado activamente por los físicos hoy en día, se usa
11:20para estimar parámetros del plasma, en astrofísica y cosmología mecánica cuántica y teoría cuántica de
11:24campos óptica no lineal, y así sucesivamente. En esencia, en todos los campos de la ciencia de
11:29vanguardia donde las ecuaciones exactas o aún no se conocen, o son demasiado complejas para
11:33resolverlas analíticamente en forma general. En este sentido, el método de análisis dimensional se puede
11:38comparar con echar un vistazo al final del libro de problemas de la naturaleza donde están escritas
11:42las respuestas. Y gracias a este truco podemos obtener resultados que van por delante del ritmo
11:46del desarrollo científico y estimar, aunque sea en términos de proporcionalidad, cosas que
11:50estrictamente hablando todavía no deberíamos ser capaces de calcular. Además, el método de análisis
11:55dimensional destaca por lo intuitivo que resulta. Para usarlo prácticamente no necesitas saber
12:00matemáticas, pero por supuesto debes tener una intuición física y erudición muy bien desarrolladas.
12:04Por cierto, en nuestros videos hemos utilizado varias veces los resultados obtenidos por el
12:08método de análisis dimensional, solo que no podía mencionar este término hasta que no explicara este
12:12concepto. Pero ahora ya lo hemos entendido juntos, y en los próximos videos ya podré, con la conciencia
12:17tranquila, usar el método de análisis dimensional en mis explicaciones, y ustedes, mis estimados
12:22espectadores, entenderán a qué me refiero. Por cierto, aprovechando la ocasión, quiero agradecer a los
12:26patrocinadores de nuestro canal aquí en YouTube, así como en las páginas de Patreon y Boosty. De hecho,
12:31es precisamente el apoyo de los patrocinadores lo que me permite hacer lo que hago, y por eso invito
12:36a todos los que disfrutan de los videos en este canal a unirse también a la lista de patrocinadores.
12:41El enlace a Boosty, así como el código QR correspondiente, deberían aparecer ahora en sus
12:45pantallas. Además, todos los enlaces necesarios estarán en la descripción del video. Bueno,
12:50eso es todo por hoy. Les deseo todo lo mejor, queridos amigos, y hasta pronto en nuestros próximos videos.