00:00Les récurrences avec le symbole P, c'est ton cauchemar, dès que tu envoies tu commences à tousser du son,
00:03ne t'inquiète pas je t'explique ça tout de suite.
00:04Alors tout le monde souffle un bon coup parce que je sens que t'es déjà en stress.
00:06Et pareil si je te demande de démontrer ça, ou même de démontrer ça, ou encore ceci, et encore pire
00:10pour celle-ci.
00:11Tout va bien se passer, si tu restes jusqu'à la fin de la vidéo tu sauras précisément comment faire.
00:14L'initialisation c'est archi-gaze, il suffit simplement de vérifier la propriété quand n est égal à 1.
00:18Or chacun de ces produits quand n est égal à 1 c'est juste le terme en question quand j
00:21'ai remplacé k par 1,
00:22puisque n vaut 1, donc en allant de 1 à 1 c'est juste l'expression elle seule où k
00:25vaut 1.
00:26Donc par exemple pour la première égalité, celle qui apparaît ici, j'ai pris l'expression ici où j'ai
00:29remplacé n par 1,
00:30et donc ça me donne ce truc là où k est remplacé par 1 puisque je vais de 1 à
00:331, ce qui me fait 1 plus 1, ce qui me fait bien 1 plus 1, 2.
00:36Donc n'oublie pas on n'écrit pas directement l'égalité, on écrit le membre gauche où on a remplacé
00:39n par 1,
00:40et d'autre part le membre droit où on a remplacé n par 1, et on teste si l'égalité
00:43est vraie.
00:44Pour l'hérédité je ne précise pas la rédaction mais tu peux regarder sur mon profil si tu la veux.
00:47C'est généralement la phase qui fait un peu stresser tout le monde, mais si tu fais les choses bien,
00:49ça va aller.
00:50Il suffit simplement de démontrer ces égalités où les n sont remplacés par des n plus 1 à partir de
00:56l'égalité avec des n.
00:58Attention, on n'est pas en train d'admettre ce qu'il faut démontrer par récurrence,
01:00parce que par récurrence c'est démontrer que pour toute n on a l'égalité.
01:03Ici ce qu'on veut démontrer c'est que quand c'est vrai pour un certain n, et non pas
01:06pour toute n,
01:06quand c'est vrai pour un certain n, c'est vrai pour le suivant, donc on a cette expression là
01:10avec des n plus 1 à la place des n.
01:11Et donc si je réécris en bas, je veux démontrer pour toute n que quand ça c'est vrai, automatiquement
01:15j'ai ça qui est vrai.
01:16Donc tu vois ici, j'ai mis des n plus 1, et là j'ai remplacé, ça me fait n
01:18plus 1 plus 1, n plus 2.
01:19Et la démarche va toujours être la même. Je vais avoir un produit qui va aller de 1 à n
01:22plus 1,
01:22et ce produit-là peut se décomposer, ça fonctionne exactement comme le symbole sum sigma,
01:25comme le produit de 1 à n de l'expression, fois, puisque j'enchaîne les multiplications avec ce symbole,
01:31le produit de n plus 1 à n plus 1, c'est-à-dire juste l'expression, où ici les
01:34k sont remplacés par des n plus 1.
01:35Et oui, c'est pas de la sorcellerie. Un produit qui a n plus 1 terme, c'est bien les
01:39n termes multipliés entre eux,
01:41tout ça, fois le dernier terme. Mais ça, tu peux le remplacer grâce à l'hypothèse de récurrence.
01:46Et t'as juste à retenir ce premier move pour savoir comment démarrer.
01:48Tu vois, c'est ce que j'ai fait ici, j'ai le produit dont je veux démontrer qu'il
01:51est égal à n plus 2,
01:52ici qui va jusqu'à n plus 1, je le coupe jusqu'à n, et je prends l'expression ici,
01:56où je remplace les k par dn plus 1, que je mets là.
01:58Par hypothèse de récurrence, je remplace ceci par n plus 1, c'est ici.
02:01Je cite l'hypothèse de récurrence que j'utilise, j'ai le dernier terme, je fais le produit, je distribue,
02:05ça me fait n plus 1 fois 1, plus n plus 1, fois 1 sur n plus 1, ce qui
02:07se simplifie en 1,
02:08n plus 1 plus 1, ce qui fait bien n plus 2.
02:10Eh bien, c'est pareil pour les autres. Hypothèse de récurrence, tu remplaces, tu fais la multiplication,
02:13et tu arranges bien les calculs proprement.
02:15Si t'as tout écrit comme dans ma rédaction, normalement, tu vas te retrouver avec ce nombre-là,
02:18où les n ont été remplacés par des n plus 1.
02:20Voilà, c'est pas compliqué, si jamais ça t'a dévisualisé, écris explicitement le produit.
02:23Toi de jouer, donne la réponse en commentaire.
