00:00Est-ce que ces bêtises sont des injections, surjections ou bijections ? Je t'explique ça tout de suite.
00:03Reste bien jusqu'au bout parce qu'on va revoir les définitions, les explications et les intuitions qui permettent de
00:06trancher.
00:07Fais bien attention à mon code couleur dans la rédaction.
00:09Première application, est-ce qu'on a une injection ?
00:11On reprend la définition et on regarde deux personnes dans n telles que leurs images par cette application sont égales,
00:16c'est-à-dire n plus 1 et n' plus 1.
00:18Et après simplification par 1, j'obtiens bien sûr que n égale n' donc c'est injectif.
00:22Check pour celui-là.
00:23Maintenant, est-ce que ce truc est surjectif ?
00:24On peut remarquer assez vite que comme on a une valeur de n dans n, on ne va pas atteindre
00:270.
00:28Parce que si n plus 1 est égal à 0, ça veut dire que n est égal à moins 1,
00:31mais moins 1 n'est pas dans mon ensemble de départ, du coup, ça n'est pas bon.
00:34Étant donné qu'une bijection est une application qui est à la fois injective et surjective,
00:37ici, ça ne peut pas être bon, donc du coup, c'est dead.
00:40Pour cette application-là, on va cette fois de z dans z,
00:42et par exactement le même raisonnement, oui, on est bien injectif.
00:45Est-ce qu'on est surjectif ?
00:46Soit m un entier relatif quelconque et je vais essayer de lui trouver un antécédent.
00:49Bon là, c'est pas très compliqué, comme on ajoute 1,
00:51on sait que si je prends m moins 1, et bien en lui ajoutant 1, je vais tomber sur m.
00:55Donc j'ai bien trouvé un antécédent à n'importe quel entier relatif m,
00:58et donc du coup, cette application est bien surjective de z dans z.
01:01Check pour le deuxième point, et donc check, on a bien une bijection de z dans z.
01:05Application suivante, est-ce que ceci est une injection ?
01:07On va prendre xx', yy', tel que les images sont égales.
01:09Ce qui me donne ces deux égalités, et je vais les ajouter,
01:11donc j'ajoute de ce côté-là et j'ajoute de ce côté-là.
01:13Ce qui me donne 2x' côté gauche, les y' se simplifient,
01:17et donc il me reste juste 2x', et côté droit 2x, je simplifie par 2, j'ai x' égale x.
01:21Mais vu que x' égale x, je peux revenir dans la première égalité,
01:23et simplifier par x et x' ici, c'est la même chose,
01:26et donc j'obtiens l'égalité y' égale y.
01:27Donc oui, on est bien une injection ici ?
01:29Oui, oui, on peut bien le faire avec les outils de l'âge linéaire,
01:31qu'on voit un petit peu plus tard dans l'année pour les sup.
01:33Question maintenant, est-ce qu'on est surjectif ?
01:34C'est-à-dire qu'on atteint n'importe quel vecteur de R2 avec des gens de cette forme-là.
01:38L'idée, c'est de fixer un couple grand x, grand y dans R2,
01:41et d'essayer de voir si on peut bricoler pour trouver un antécédent,
01:43ou si on va bloquer quelque part, ce qui va nous donner l'idée de quelqu'un qui ne peut
01:47pas être atteint,
01:48et donc démontrer la non-surjectivité.
01:50Et donc on devrait avoir ceci, puisque pour rappel, l'application donne ceci comme résultat,
01:54en première coordonnée x plus y, et en deuxième coordonnée x moins y.
01:56Mais pareil, en manipulant les égalités, en les ajoutant par exemple,
01:59j'obtiens que petit x va nécessairement être égal à grand x plus grand y sur 2.
02:03Et j'obtiens cette égalité pour petit y en soustrayant les lignes.
02:06Donc apparemment, ce couple-là serait un antécédent de grand x, grand y.
02:10Eh bien, on va vérifier.
02:11On a la somme des deux qui vaut grand x,
02:13puisque j'ai grand x sur 2 plus grand x sur 2,
02:15les y se simplifient, qui me donnent bien ma première coordonnée.
02:18Et j'ai la différence des deux qui vaut grand y sur 2 plus grand y sur 2,
02:21le moins change le moins ici,
02:22et donc ce qui va me faire y, ce qui vaut bien la deuxième coordonnée.
02:25Donc oui, ces gens-là sont tels que,
02:28quand on applique la fonction, on arrive bien sur grand x et grand y.
02:32Check pour la surjectivité, check pour la bijectivité.
02:34Note que ce type d'application-là et ces ensembles-là ont une compatibilité
02:37qui est relative à la notion de linéarité.
02:39Et on a des arguments supplémentaires dans ce cas particulier
02:42qui nous permettent de trancher avec juste l'un ou l'autre.
02:44Donc là, en fait, avec certains théorèmes avancés que tu verras plus tard si tu es en sup,
02:48juste avec l'injectivité, on aurait pu conclure quant à la surjectivité,
02:51ou juste avec la surjectivité, on aurait pu conclure quant à l'injectivité.
02:54Et donc dans ce cas particulier-là, on est injectif,
02:57si elle se mentionne surjectif, si elle se mentionne bijectif.
02:59Application suivante, on teste son injectivité,
03:01et donc soit x et x' telles que leurs images sont égales,
03:03c'est-à-dire ceci, effectivement c'était pas le bon stylo, t'étais concentré, bravo.
03:06C'est-à-dire ceci en multipliant par les dénominateurs respectifs,
03:09et en développant, on obtient ceci.
03:11Et après simplification, j'obtiens bien que 2x' est égal à 2x, soit x' est égal à x.
03:14Donc oui, injectivité !
03:15Pour la surjectivité de cette application,
03:17on peut prendre un y quelconque dans R, écrire y est égal à ceci,
03:20et essayer d'exprimer x en l'isolant,
03:22pour avoir x en fonction de y.
03:23Et on se rend compte qu'on aura une condition,
03:25c'est que x doit être différent de 1.
03:26Ce que l'on pouvait voir directement dans l'expression,
03:29puisque j'ai une fraction,
03:30et j'ai que ceci, le numérateur, est toujours strictement plus grand que le dénominateur.
03:34Donc je pourrais jamais avoir égalité entre les deux,
03:36or la fraction va être égale à 1 si et seulement si les deux sont égaux.
03:39Donc je vois direct que 1 n'a pas d'antécédent par cette expression-là.
03:42C'est d'aide pour la surjectivité et donc d'aide pour la bijectivité.
03:45Mais par contre, si on restreint l'ensemble d'arrivées,
03:47on se rend compte qu'on a bien injection, surjection, bijection.
03:50Et d'ailleurs, tu remarqueras dans les calculs
03:52que cette fonction-là est sa propre bijection réciproque,
03:54c'est-à-dire que si tu la composent par elle-même,
03:56tu obtiens l'identité.
03:57Ce que tu peux constater dans ce calcul-là,
03:59après simplification, on obtient bien x.
04:01Pour cette application-là, on a un nombre qui associe son double,
04:03donc est-ce qu'on est injectif ?
04:05Si on a 2n égale 2n', on simplifie par 2,
04:07et on a bien sûr n égale n'.
04:08Et même chose pour la suivante, puisqu'on multiplie simplement n par moins 1.
04:12Surjectivité, et bien ici, j'arrive dans les antirelatifs,
04:14et en fait, à n, j'associe son double,
04:15donc j'obtiens forcément l'arrivée à un nombre pair,
04:17donc je ne vais pas atteindre les impairs 1, par exemple.
04:19Donc je ne suis ni surjectif, ni bijectif.
04:21Ici, je vais bien être surjectif et bijectif,
04:23puisque n'importe quel antirelatif est atteint par cette application via son opposé.
04:26Si je veux un m ici, à l'arrivée,
04:28et bien je prends moins m, et moins moins m,
04:31en prenant l'image, ça va bien me faire m,
04:32et donc on est bien surjectif, et donc on est bijectif.
04:34Et enfin, application un petit peu plus délicate,
04:36je prends un ensemble E, et je considère l'ensemble des parties d'E,
04:40c'est-à-dire l'ensemble qui contient tous les sous-ensembles d'E.
04:43Et un sous-ensemble d'E que je nomme A,
04:46j'associe son complémentaire,
04:48c'est-à-dire toutes les parties qui sont dans E,
04:51mais pas dans A, puisque A est un sous-ensemble d'E.
04:53Et bien l'application qui a un certain sous-ensemble d'E A
04:55m'associe son complémentaire,
04:57est-ce que ça, c'est une injection,
04:58slash surjection, slash bijection ?
05:00Imaginons qu'on ait deux sous-ensembles d'E A et B
05:02qui ont le même complémentaire.
05:04Et bien vu que le complémentaire du complémentaire,
05:06c'est l'ensemble lui-même,
05:08en prenant le complémentaire dans cette égalité,
05:09j'obtiens que A est égal à B.
05:11Et en fait, avec cette manip, j'ai montré la surjectivité.
05:13Mais c'est pas grave, on va le faire avec le raisonnement classique,
05:15et j'expliquerai juste après pourquoi cette manip-là montre la surjectivité aussi.
05:19Soit C appartenant à P de E,
05:20et bien l'application complémentaire appliquée à l'ensemble complémentaire de C
05:24va me donner C.
05:25Donc j'arrive bien à trouver un certain ensemble,
05:27une partie de E,
05:28telle que, en le faisant cette application-là,
05:30je retombe sur C.
05:31J'ai bien donc montré la surjectivité.
05:33Et donc le raisonnement qui nous permettait de voir directement
05:35que cette application est une bijection,
05:37puisqu'on vient de montrer qu'elle est injective et surjective,
05:39c'est qu'elle est son propre inverse pour la composition.
05:41Autrement dit, F rond F est égal à l'identité,
05:43c'est-à-dire que si j'applique deux fois la complémentarité,
05:46je retombe sur l'ensemble.
05:47Et d'après le cours,
05:48si une application est composée avec une autre application
05:51dans les deux sens et que ça donne l'identité,
05:52là je ne l'ai pas fait dans les deux sens puisque c'est la même,
05:54mais si c'est un autre G,
05:56il faut le faire dans les deux sens,
05:57et surtout si les ensembles à l'arrivée au départ ne sont pas les mêmes,
05:59et bien si cette condition est satisfaite,
06:01je démontre automatiquement, d'après le cours,
06:03que l'application F est bijective
06:04et que cette bijection réciproque,
06:05c'est l'autre individu que j'ai composé dans les deux sens.
06:08Et donc check, check, check pour cela.
06:09Allez, à toi de jouer,
06:10tu me précises pour cette dernière application
06:11si elle est injective, surjective, surjective, bijective.
06:14Mets ta réponse et ton argumentation en commentaire.
06:15plus
