00:00Pourquoi exponentialité est égale cosinus t plus i sin t ?
00:02Si ce genre de question t'empêche de dormir, tu es au bon endroit.
00:04Je suis algébri et je réponds le plus simplement possible aux questions de maths que tu poses.
00:06On va répondre en plusieurs parties.
00:07Dans cette première partie, on va déjà donner une intuition géométrique du résultat.
00:09Déjà, il faut donner un sens à ce que signifie chaque terme de l'égalité.
00:11On va interpréter cosinus et sinus comme les notions qu'on a vues au lycée dans le cercle trigonométrique,
00:15c'est-à-dire l'abscisse et l'ordonnée d'un point qui est sur le cercle.
00:17La quantité cosinus t plus i sin t est tout simplement le nombre complexe de parties réelles cosinus t
00:20et de parties imaginaires sin t.
00:21Un nombre complexe, c'est juste un point du plan.
00:23Donc on peut penser cosinus t plus i sin t comme le couple de coordonnées cos t sin t.
00:27Et je vais d'ailleurs abuser de cette notation dans les calculs.
00:28Oui, il y aura des calculs !
00:29Je ne distinguerai pas cosinus t plus i sin t du couple cosinus t sin t.
00:32Et parfois, je vais même écrire des égalités.
00:33Donc SVP, les profs ne criaient pas, tout peut être rendu rigoureux très facilement.
00:36Et les élèves, soyez prudents.
00:37Évitez quand même de faire ça en classe.
00:38Pour ce qui est de l'exponentiel, la première réaction serait de trouver cela très étrange,
00:41à la limite immoral, de mettre un nombre complexe dedans.
00:42Il faut juste noter que dans ce cadre, l'exponentiel ne s'interprète pas comme une répétition de multiplication.
00:46On a simplement pris une définition équivalente de l'exponentiel classique,
00:48et on a utilisé cette définition-là dans les complexes, car elle avait un sens pour les nombres complexes.
00:52En fait, c'est fréquent en maths.
00:52On a un objet qui a une définition.
00:54On remarque qu'il y a une autre définition équivalente à la première,
00:56mais il se trouve que cette autre définition a un sens dans un contexte différent.
00:58Donc on l'utilise pour définir cet objet dans ce nouveau contexte,
01:00alors que la première définition n'avait pas de sens dans ce contexte.
01:02Une fois l'exponentiel complexe bien définie,
01:03on peut montrer qu'elle vérifie les propriétés classiques de l'exponentiel.
01:05Je vais utiliser ici deux propriétés, celles qui sont affichées.
01:07La première étant simplement que l'exponentiel est dérivable,
01:09sa dérivée c'est elle-même,
01:10et la dérivée de l'exponentiel dans laquelle j'ai mis un nombre complexe multiplié par z,
01:13c'est α, le nombre complexe, fois l'exponentiel de αZ.
01:16Exponentiel de IT est un nombre complexe,
01:17ou en bois du blanc on a dit.
01:17Il a donc deux coordonnées, x de t, y de t, qui dépendent toutes les deux de t.
01:20Si on trace chacun de ces points pour toutes les valeurs de t,
01:22on obtiendra une courbe lisse, ça c'est dû à la dérivabilité de l'exponentiel.
01:25Le but est donc de savoir quelle courbe est formée par l'ensemble de ces points.
01:28Pour le savoir, on va dériver exponentiel IT.
01:30Petit rappel, la dérivée d'un couple qui dépend de t et qui forme une courbe s'appelle le vecteur
01:33directeur.
01:33Il dirige en quelque sorte la courbe et indique,
01:35quand on est en endroit précis de la courbe pour une valeur de t,
01:37dans quelle direction avance le point si t augmente un peu.
01:39Après dérivation, on obtient I exponentiel IT, autrement dit I fois exponentiel IT.
01:43Sauf que, multiplier un nombre complexe par I revient juste à lui faire subir une rotation de 90 degrés
01:46et de centre l'origine du repère et dans le sens trigonométrique.
01:49Essaie de le vérifier en mettant en pause.
01:50Cela marche pour n'importe quel nombre complexe.
01:51Donc dérivé exponentialité qui vaut le couple XT-YT et obtenir le vecteur directeur de la courbe D-XT-YT,
01:55ça nous donne un vecteur orthogonal au vecteur position de la courbe AT, voire l'exemple en bleu, et de
01:59même longueur.
02:00De plus, en prenant t égale 0, on voit qu'un point de cette courbe est le point de coordonnée
02:021-0.
02:03Mais y a-t-il tant de courbes que ça qui réalifie ces conditions ?
02:05Très bonne question, je vois que tu suis attentivement.
02:07Parce que je le rappelle, on doit partir du point 1-0, AT égale 0,
02:09et avoir son vecteur tangent orthogonal au vecteur position à chaque instant t.
02:12Si on représente 1-0, voilà ce que ça donne.
02:14Vu que le vecteur vitesse donne la direction, on va légèrement déplacer le point A dans cette direction.
02:17On constate qu'à cette nouvelle position, le vecteur vitesse est désormais incliné.
02:20Et ainsi de suite si on continue à déplacer A selon la direction du vecteur vitesse.
02:22Sauf qu'il faut garder à l'esprit que cela se fait continuellement, donc de façon très très proche du
02:25point de départ.
02:26Étant donné la contrainte d'orthogonalité du vecteur vitesse,
02:28on voit qu'on doit s'incliner en montant quand on se déplace dans la première partie,
02:30de manière à finalement former la seule figure possible, un cercle.
02:32Et en fait, on sent bien que la seule courbe possible réalisant ces conditions,
02:35c'est le cercle de centre 0-0 et de rayon 1.
02:36Et à vrai dire, on peut le démontrer rigoureusement.
02:38Tu peux mettre pause pour voir les détails de la preuve.
02:40On vient donc de comprendre, et de prouver, que quelque soit T,
02:42exponentialité est un point du cercle de centre 0-0 et de rayon 1,
02:45notre bon vieux poteau, le cercle trigo.
02:46Très malgré.
02:47Oui, mais ça ne nous dit pas encore l'égalité qu'on veut, pas vrai ?
02:48Oui, c'est vrai. La suite dans le prochain épisode.
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