00:00presento esta demostración, la fórmula genérica de distancia espacial
00:04entonces utilizando el teorema de pitágoras
00:09ya lo habíamos demostrado, por acá va a aparecer
00:14una tarjeta que lo lleva a esta demostración
00:20ok, entonces dice así
00:23la medida lineal entre el par de puntos
00:30R tiene coordenada x1, y1, z1
00:35y S tiene coordenada x2, y2, z2
00:47se calcula mediante la siguiente expresión
00:52esta es la que vamos a demostrar
00:54como llegamos a esta fórmula
00:58ok
01:00entonces
01:03se construye un
01:09paralelepípedo
01:10así se le llama
01:12entonces
01:14acá vemos el paralelepípedo
01:20noten que esta
01:26tanto esta como esta
01:31son
01:34paralelas al eje x
01:38paralelas al eje x
01:40ok
01:42esta
01:44como esta
01:47son paralelas al eje y
01:56y esta
02:00y esta
02:02son paralelas al eje z
02:07ok
02:13entonces
02:13ustedes se preguntan
02:14bueno y por qué una caja
02:16porque más bien
02:17este punto
02:19porque no por acá
02:20pues se va a formar una caja
02:22más pequeña
02:24pero el principio es ese
02:28y por qué
02:29así en diagonal
02:31a esa caja
02:32pues porque si lo hacemos
02:36por ejemplo
02:37no diagonal
02:38a esa caja
02:40que no va por acá
02:41va a cambiar solamente una coordenada
02:45solo una coordenada va a cambiar
02:48entonces acá
02:49va a cambiar las tres coordenadas
02:56entonces
02:57si pusiéramos este punto
02:59en vez de acá
03:00lo pusiéramos por acá
03:03entonces
03:05pues
03:06va a cambiar solamente
03:10dos coordenadas
03:11¿no?
03:13y es prácticamente como
03:16hacerlo en un plano
03:18en un plano
03:20como siempre lo hemos hecho
03:23con el teorema de Pitágoras
03:25en un plano
03:27utilizando coordenadas
03:28de X y Y
03:29y es por eso que es
03:31diagonal
03:32porque cambia las
03:34las coordenadas
03:36claro que también sirve
03:39esta fórmula también sirve
03:41para un plano
03:42sino que esta es la más general
03:44para las tres dimensiones
03:46porque
03:49supongamos que Z no va a cambiar
03:55porque
03:56ah no entonces
03:57bueno
03:58yo había dicho acá ¿no?
04:01si
04:01no
04:02había dicho acá
04:05perpendiculares
04:05al eje X
04:06miren
04:07entonces no va a cambiar
04:08el eje X
04:10entonces al no cambiar
04:11el eje X
04:13pues el X va a ser el mismo
04:15entonces
04:15X sub 2
04:17menos X sub 1
04:18pero como
04:18X va a ser el mismo
04:19entonces esto se hace 0
04:220 al cuadrado
04:23pues es 0
04:23pues prácticamente
04:25es como hacer
04:26el teorema de Pitágoras
04:27en dos dimensiones
04:28¿no?
04:29y es por eso
04:30que se hace así
04:31en diagonal
04:33ok
04:35entonces
04:35vamos a analizar
04:38las
04:39antes de empezar
04:39con esto
04:41vamos a analizar
04:43las coordenadas
04:45R
04:45V
04:46U
04:47y S
04:49entonces
04:50R
04:50X sub 1
04:51Y sub 1
04:52y Z sub 1
04:53las dos van a cambiar
04:54¿verdad?
04:57X sub 2
04:58Y sub 2
04:58y Z sub 2
05:03ok
05:06ahora
05:07analicemos
05:08V
05:10bueno
05:10la V
05:11viene siendo
05:12esta
05:18ok
05:19bueno
05:20esta
05:21bueno
05:22la V
05:23viene siendo
05:23esa
05:24este punto
05:26ok
05:26entonces
05:27vamos a analizar
05:28V
05:32¿por qué
05:33X sub 1
05:37igual a este
05:38el de abajo?
05:40porque
05:42bueno
05:42porque
05:44de acá
05:45a acá
05:46lo único
05:47que cambió
05:49fue
05:50lo único
05:51que cambió
05:52fue
05:53Z
05:55Z
05:56viene siendo
05:56como la altura
05:57¿no?
05:57en este caso
05:58¿no?
05:59entonces
05:59lo único
06:00que cambió
06:01fue
06:01Z
06:02Z sub 1
06:03y Z sub 2
06:04y el resto
06:05está bien
06:05vea
06:06X sub 1
06:06X sub 1
06:07Y sub 1
06:08Y sub 1
06:21Y sub 1
06:25porque
06:26porque lo único
06:27porque lo único que cambió
06:27fue Z
06:28Z sub 1
06:29y Z sub 2
06:30ahora
06:30V y U
06:33¿por qué cambio
06:34de V a U
06:36cambia de X sub 1
06:37a X sub 2?
06:38porque vea
06:41vea
06:42es paralela a X
06:44va aumentando
06:47cambio
06:51Y sub 1
06:52Y sub 1
06:52Y sub 1
06:52se mantiene
06:53¿por qué?
06:54porque
06:54se mantuvo
06:55perpendicular
06:57a Y
06:58y Z sub 2
07:02pues tiene la misma altura
07:03¿no?
07:05va
07:05queda la misma
07:07¿no?
07:10entonces
07:11cambio solamente
07:12de X
07:13X sub 1
07:15a X sub 2
07:15se mantuvo
07:16Y sub 1
07:17y Z sub 2
07:21ok
07:22¿ya?
07:25bueno
07:26ahora
07:27para establecer
07:30esta relación
07:30formalmente
07:31definimos
07:31un prisma
07:32rectangular
07:34ortogonal
07:35como se visualiza
07:37en la figura
07:38los puntos
07:39R
07:39X sub 1
07:40Y sub 1
07:40Z sub 1
07:41y S
07:44X sub 2
07:45errores de la inteligencia artificial
07:47yo le dije
07:48que me hiciera
07:49este
07:52este archivo
07:53X sub 2
07:55Y sub 2
07:56y Z sub 2
07:57acá era
07:58X sub 2
07:59bueno
07:59mire
08:00ese
08:01ocupan vértices
08:02diagonalmente
08:03opuestos
08:04las aristas
08:05del pisma
08:06son paralelas
08:12las aristas
08:13del pisma
08:13paralelas
08:14a los ejes
08:15de coordenadas
08:17los vértices
08:18auxiliares
08:19U y V
08:22donde está
08:23U y V
08:23mirelo
08:25se localizan
08:27como
08:27U
08:27X sub 2
08:30Y sub 1
08:31Y sub 1
08:31y Z sub 2
08:32mirelo
08:34y V
08:35X sub 1
08:37Y sub 1
08:38y Z sub 2
08:42ya le digo
08:42porque son
08:43son vértices
08:44auxiliares
08:46entonces
08:47por lo tanto
08:48la longitud
08:48de la
08:49de la
08:49arista
08:50son
08:51bueno
08:51estos son
08:52vértices
08:53auxiliares
08:54porque
08:55necesitamos
08:56hallar la distancia
08:57de este punto
08:59rojo
08:59a este punto
09:00rojo
09:01entonces
09:02necesitamos
09:05este en el eje Z
09:09y este
09:10y esta
09:12este
09:13oblicuo
09:14¿no?
09:17entonces
09:20pero
09:21bueno
09:22el eje Z
09:23ya lo tenemos
09:25necesitamos
09:26averiguar
09:27este
09:27este valor
09:29esta distancia
09:30de acá
09:30a acá
09:33en la parte baja
09:34de la caja
09:36la distancia
09:38entonces
09:38necesitamos
09:40necesitamos
09:41este vértice
09:43UV
09:45y
09:46US
09:48teniendo
09:49US
09:50y UV
09:51hallamos
09:52la
09:52la hipotenusa
09:53de esta
09:54en la parte baja
09:57ya sabemos
09:58la altura
10:00la altura
10:00la altura
10:01que es lo más fácil
10:02¿verdad?
10:03esto es lo más fácil
10:04hallar la altura
10:05esa es la diferencia
10:06en
10:07de
10:08Z2
10:09menos
10:09Z1
10:10ya
10:12entonces
10:13tenemos
10:13esta
10:14y esta
10:14y hallamos
10:15la
10:16la distancia
10:19ok
10:21bueno
10:22entonces
10:22los vértices auxiliares
10:23por lo tanto
10:25las longitudes
10:25de las aristas
10:26son
10:27vamos a mirar
10:28las longitudes
10:28de las aristas
10:29de las aristas
10:32distancia
10:32de R
10:33U
10:34de R
10:35a U
10:38hay como que
10:39equivocaron
10:44la
10:45intercencia
10:46me equivoco
10:47ahí
10:48ok
10:49entonces
10:49ya corregí
10:50entonces
10:51la distancia
10:52de
10:52U
10:52V
10:55U
10:56V
10:56mirenla
10:58viene de
10:59bueno
10:59U
11:00vea
11:00este punto
11:01y
11:02V
11:02este
11:03entonces
11:04la distancia
11:05noten que
11:06es
11:08que viene
11:09siendo
11:10paralelo
11:11al eje
11:12X
11:13mirenlo
11:14paralelo
11:15al eje
11:15X
11:15entonces
11:19es
11:20esa diferencia
11:21con respecto
11:22a X
11:23¿no?
11:24X2
11:25menos
11:25X1
11:25valor absoluto
11:26claro
11:27valor absoluto
11:28X2
11:28menos
11:29X1
11:29ok
11:32ahora
11:35vamos a ver
11:36la arista
11:36US
11:39vean
11:39mírela
11:41US
11:42que viene
11:43siendo
11:44paralela
11:45al eje
11:46Y
11:46mirenlo
11:47paralela
11:47al eje
11:48Y
11:49entonces
11:50y como es
11:51paralelo
11:52al eje
11:52Y
11:52pues no va
11:53a cambiar
11:53ni Z
11:57porque
11:57mantiene
11:58la misma
11:58la misma
11:59altura
11:59y tampoco
12:01va a cambiar
12:01X
12:02porque va a ser
12:03perpendicular
12:04al eje
12:05X
12:05ok
12:07entonces
12:08entonces sería
12:09esa diferencia
12:10valor absoluto
12:11de
12:12Y1
12:13menos
12:13Y1
12:15ok
12:20la distancia
12:21de
12:21U
12:21a S
12:22¿no?
12:25este es
12:25U
12:26y este es
12:26S
12:28ahora
12:30VR
12:32o sea
12:32V
12:33viene siendo
12:33esta
12:34y R
12:34viene siendo
12:35esta
12:35pues esa
12:36diferencia
12:36en altura
12:38que es
12:39paralela
12:39al eje
12:40Z
12:42que tampoco
12:43va a cambiar
12:44con respecto
12:45al eje
12:45X
12:46o al eje
12:46Y
12:48es como
12:49por ejemplo
12:51cuando
12:52un
12:53como por ejemplo
12:54las coordenadas
12:55en la Tierra
12:56no estoy diciendo
12:56que la Tierra
12:57habla
12:58las coordenadas
12:59en la Tierra
13:00es como por ejemplo
13:01las coordenadas
13:02en la Tierra
13:04paralelo
13:06y meridiano
13:06¿no?
13:08y
13:09y aunque
13:10se
13:11y aunque
13:12se eleve
13:14aunque se eleve
13:15va a mantener
13:16la misma coordenada
13:17va a haber
13:18un
13:19un tercer
13:20una tercera
13:22dimensión
13:23que es
13:23altura
13:24metros sobre
13:25el nivel del mar
13:26más o menos así
13:27ok
13:32bueno
13:32entonces
13:38Z sub 2
13:39menos
13:39Z sub 1
13:40Vr
13:42es paralelo
13:43al eje Z
13:45pero
13:45no va a cambiar
13:46ni X
13:47ni Y
13:47porque va a ser
13:49paralelo
13:51al eje Z
13:52bueno
13:54hasta ahí
13:54todo bien
13:55por acá
13:56al analizar
13:57los triángulos
13:57rectángulos
13:58Sv
13:59bueno
14:00¿cuál es
14:00S?
14:03V
14:04entonces
14:05si notan
14:06vamos a utilizar
14:08Pitágoras
14:10para hallar
14:12la
14:13la distancia
14:14que
14:15a su vez
14:16esa hipotenusa
14:17de este triángulo
14:19en la parte baja
14:20de la caja
14:23es hipotenusa
14:25pero es a la vez
14:26un cateto
14:28de este triángulo
14:29que está
14:31inclinado
14:33es hipotenusa
14:35para este triángulo
14:37que está
14:37en la parte baja
14:39de la caja
14:40pero es cateto
14:41para este triángulo
14:45ok
14:46entonces
14:46al analizar
14:48los triángulos
14:49rectángulos
14:49Sv
14:50y Rvs
14:51Rvs
14:52S
14:54el teorema
14:55de Pitágoras
14:56nos proporciona
14:57las siguientes
14:58igualdades
15:02entonces
15:02la distancia
15:03de Rvs
15:06al cuadrado
15:07¿no?
15:09bueno
15:09en un principio
15:10yo había dicho
15:10que
15:11yo había colocado
15:13una
15:13una tarjeta
15:15donde lo va a llevar
15:16a esa demostración
15:17del teorema
15:18de Pitágoras
15:19en dos dimensiones
15:21¿no?
15:23para utilizar
15:23a esta
15:24para poder
15:26demostrar
15:26esta
15:26bueno
15:27entonces
15:30bueno
15:31Rvs
15:32al cuadrado
15:35entonces
15:36la distancia
15:36de acá
15:36a acá
15:37va a ser
15:38el cateto
15:40este
15:41al cuadrado
15:42más
15:42este
15:42al cuadrado
15:43¿no?
15:44entonces
15:44la distancia
15:45de Rv
15:45al cuadrado
15:46vea
15:47Rv
15:48el cateto
15:49este
15:50Rv
15:50este es punto
15:53v
15:53y este R
15:54al cuadrado
15:56más
15:58Vs
15:59vea
16:00Vs
16:01al cuadrado
16:07pero
16:08también necesitamos
16:09averiguar
16:09la distancia
16:10de Vs
16:11entonces
16:13distancia
16:13de Vs
16:14al cuadrado
16:14es igual
16:15a
16:17Vs
16:18miren
16:19este cateto
16:20Vs
16:21al cuadrado
16:22más
16:24V
16:26al cuadrado
16:27nos va a dar
16:28esta distancia
16:29que es la hipotenusa
16:31del triángulo
16:32que está
16:32que está
16:34recostado
16:35y esa hipotenusa
16:37viene siendo
16:38el cateto
16:39de este otro triángulo
16:40ok
16:45bueno
16:48pero necesitamos
16:53antes de
16:55deducirla
16:59bueno
17:01entonces
17:01necesitamos
17:03saber
17:03bueno
17:04la distancia
17:05de acá
17:05pues viene siendo
17:06esta
17:08necesitamos
17:10reemplazarla
17:15miren
17:19mirenla
17:25distancia
17:27de Vs
17:28al cuadrado
17:29vamos a reemplazarla
17:47bueno
17:50es como
17:51yo
17:51como
17:52como si
17:53hiciera yo
17:54esto
17:54miren
17:55distancia
17:56Vs al cuadrado
17:57distancia
17:58Vs al cuadrado
17:58es como
17:59si yo
18:00hiciera
18:00esto
18:05lo reemplazo
18:06vean
18:06bien
18:06Dvs
18:07al cuadrado
18:08es igual
18:09a esto
18:11cierto
18:11bueno
18:12eso es lo que
18:13vamos a hacer
18:15al unificar
18:16estas ecuaciones
18:17distancia
18:18de Rs
18:19al cuadrado
18:19es igual
18:20a
18:21DRV
18:22al cuadrado
18:23distancia
18:24de
18:24Rv
18:24al cuadrado
18:25más
18:26esto
18:29mirenlo
18:30mirenlo
18:31mirenla
18:32DRV al cuadrado
18:33DRV al cuadrado
18:34Ds al cuadrado
18:36Ds al cuadrado
18:37más
18:38DRU
18:39al cuadrado
18:41ah ya
18:42acá metió
18:43otra de la pata
18:43la interiante artificial
18:45metió la pata
18:52ah mirenlo
18:53no
18:57ok
18:58ya
18:58ya corregí
19:00ok
19:01entonces
19:01que viene siendo
19:04que viene siendo
19:05Dvs
19:07esto
19:10y vamos a reemplazarlo
19:12mirenlo
19:13mira
19:13Dvs
19:14Dvs
19:14Dvs al cuadrado
19:15Dvs al cuadrado
19:16vamos a reemplazarlo
19:18que a su vez
19:19Rs al cuadrado
19:20vea
19:21DRS al cuadrado
19:22es igual a
19:23D
19:23a distancia
19:25Rv al cuadrado
19:26miren
19:26Rv al cuadrado
19:27más distancia
19:28Vs al cuadrado
19:29mirenlo
19:30distancia
19:30Vs al cuadrado
19:31más distancia
19:32V al cuadrado
19:33mirenlo
19:37hasta inteligencia
19:38artificial
19:38no hace bien
19:39las cosas
19:55ok
19:55entonces
19:58bueno
19:59entonces
20:01distancia
20:01Rv al cuadrado
20:03viene siendo
20:03donde está Rv
20:06o V Rva
20:08Z
20:08eh
20:08valor absoluto
20:10Z sub 2
20:10menos Z sub 1
20:11elevado al cuadrado
20:13que viene siendo
20:14Vs
20:14elevado al cuadrado
20:15eh
20:16valor absoluto
20:17de Y sub 2
20:18menos Y sub 1
20:18elevado al cuadrado
20:19y por último
20:21que viene siendo
20:21V
20:22distancia
20:23V al cuadrado
20:24mirenlo
20:24valor absoluto
20:26de X sub 2
20:26menos X sub 1
20:27elevado al cuadrado
20:28entonces
20:30reordenando
20:32poniéndolo en
20:34orden
20:34este primero
20:35después este
20:36después este
20:37en consecuencia
20:38obtenemos la fórmula
20:39final para
20:40separación
20:40RS
20:41como es una
20:42igualdad
20:42entonces
20:45sacamos
20:46raíz cuadrada
20:48sacamos raíz cuadrada
20:50en ambos lados
20:51yo tengo certeza
20:53que este
20:54es positivo
20:55porque la distancia
20:56siempre va a ser
20:56positiva
20:59y esto
20:59también es
21:00positivo
21:00porque
21:02porque es
21:03una igualdad
21:04¿no?
21:07y da esto
21:11ordenándolo
21:11así todo
21:12bonito
21:12quitándole
21:13el valor
21:13absoluto
21:14poniéndole
21:15paréntesis
21:15etc
21:18y era
21:19lo que
21:19queríamos
21:19demostrar
21:20¡sí!
21:21Gracias.
