00:00Buen día, demostrar que para todos los enteros positivos n
00:07por ejemplo 1 sobre 2 a la 1 que viene siendo un medio
00:12más 1 sobre 2 a la 2 que viene siendo un cuarto
00:18más y así sucesivamente
00:211 sobre un octavo, un dieciséisavo
00:25hasta llegar a más 1 sobre 2 a la n
00:30es igual a 1 menos 1 sobre 2 a la n
00:37Muchos ya conocen esta suma geométrica
00:42que un medio más un cuarto más un octavo más un dieciséisavo
00:48más un centeosavo más un sesenta y cuatruavo, etc.
00:53es igual a 1 menos 1 sobre 2 a la n
00:59debemos demostrar que el válido para n es igual a 1
01:05n es igual a 1, 1 es el primer entero positivo
01:10vamos a demostrar que el válido para n es igual a 1
01:161 sobre 2 a la 1 igual a 1 menos 1 sobre 2 a la 1
01:22porque de acuerdo a la fórmula 1 sobre 2 a la n
01:27n es igual a 1, entonces 1 menos 1 sobre 2 a la 1
01:33esto viene siendo un medio igual
01:351 menos un medio, pues un medio
01:39un medio es igual a un medio
01:43ahora vamos a demostrar para n es igual a k
01:48entonces solamente le cambiamos
01:51donde veamos n vamos a reemplazarlo por k
01:54entonces aquí en este término 1 sobre 2 a la k
02:01fue reemplazado por el valor de n
02:03y acá 1 sobre 2 a la k
02:07fue reemplazado por el valor de n
02:11ahora vamos a demostrar para n es igual a k más 1
02:18¿qué hacemos?
02:21a esta igualdad
02:25le sumamos un mismo término
02:29al lado y lado de la igualdad
02:33a este miembro y a este otro miembro
02:36le sumamos un mismo término
02:39un mismo valor
02:40y se mantiene
02:44la igualdad
02:48¿por qué le sumamos este valor 1 sobre 2
02:51a la k más 1?
02:53porque de acuerdo a esta
02:55suma geométrica
02:57el próximo término
03:00sería 1 sobre 2 a la k más 1
03:07este es el próximo término
03:09el término siguiente
03:11entonces sumamos este mismo término
03:16a dos miembros
03:17que es la igualdad
03:22y vamos a resolver
03:26entonces la predicción sería
03:30que la fórmula
03:31va a quedar
03:321 menos 1 sobre 2
03:35a la k más 1
03:37¿por qué?
03:39porque ya
03:40porque n es igual a k más 1
03:44entonces donde veamos
03:45n
03:45vamos a reemplazarlo
03:46por k más 1
03:49entonces de acuerdo a la fórmula
03:51entonces va a quedar
03:521 menos 1 sobre 2
03:55a la k más 1
03:56va a quedar
03:59y vamos a mirar
04:00si es cierto
04:02entonces
04:04resuelvo esto
04:09vamos
04:11a tomar este término
04:13y multiplicamos por 2
04:15y dividimos entre 2
04:18y se mantiene este término
04:21¿cuál término?
04:22este
04:231 sobre 2
04:25a la k
04:27lo multiplico por 2
04:29y lo dividimos entre 2
04:31¿para qué?
04:37para
04:40poderlo desarrollar con este
04:42para poderlo con el
04:46el mismo
04:49denominador
04:49¿para qué es?
04:52para que quede con el mismo denominador
04:54a este
04:54y sea más fácil
05:01operarlo
05:04entonces
05:04lo multiplico por 2
05:06y lo divido entre 2
05:07y se mantiene la igualdad
05:11es como si lo hubiera multiplicado por 1
05:14entonces vemos acá
05:15igual
05:161 menos
05:17como dijimos
05:19este factor
05:20este término
05:22lo multiplico por 2
05:23y lo divido entre 2
05:25y se mantiene la igualdad
05:27el mismo término
05:29es como si lo hubiéramos
05:31multiplicado por 1
05:33este mismo término
05:34este
05:341 sobre 2
05:36a la k
05:37más
05:381 medio
05:40a la k
05:41más 1
05:44entonces
05:45resuelvo
05:48igual
05:511
05:52menos
05:53menos
05:56este u
05:581 lo multiplico por 2
06:01y va a dar
06:022
06:03sobre
06:042 a la k
06:06por 2
06:08que va a dar
06:092 a la k
06:11más 1
06:11¿por qué?
06:13porque estoy
06:15estoy multiplicando
06:21la misma base
06:24este tiene
06:26denominador 1
06:27este 2
06:29tiene denominador 1
06:302 a la k
06:32por 2 a la 1
06:33entonces
06:34se deja la misma base
06:37y se suma
06:38los exponentes
06:39queda k
06:40más 1
06:42más
06:44este mismo
06:45ese término
06:461 medio
06:47a la k
06:47más 1
06:51igual
06:581
06:59menos
07:002
07:01sobre
07:022 a la k
07:03más 1
07:03más
07:041 medio
07:05a la k
07:06más 1
07:07tiene el mismo
07:09denominador
07:10se deja el mismo
07:11denominador
07:12y
07:16se suman entre sí
07:19los numeradores
07:20pero este
07:22denominador
07:22es menos 2
07:23vea
07:24se ha presidido
07:24por el signo
07:25menos
07:25menos 2
07:26más 1
07:27da menos 1
07:29entonces queda
07:30igual
07:311
07:32menos
07:331
07:34sobre
07:352
07:36a la k
07:37más 1
07:38y dio
07:39ese mismo
07:40patrón
07:41que había
07:42dicho
07:44que
07:47como es
07:47la fórmula
07:48era
07:491
07:49menos
07:501
07:50sobre
07:512
07:51a la n
07:52pero recuerda
07:54que
07:55hicimos
07:55valer
07:56n
07:56igual a
07:56k
07:57más 1
07:57porque
07:58le añadimos
07:59el siguiente
08:01término
08:03y se mantiene
08:04este patrón
08:06muchas gracias
08:07por la atención
08:08prestada
08:11solo
08:11no
08:11no
08:11no
08:11no
08:11no
08:11no
08:11no
08:11no
08:11no
08:11no
08:11de
08:11Gracias.
