00:00Buen día, vamos a demostrar el teorema Pitágoras
00:05entonces dice, en todo triángulo rectángulo
00:08el cuadrado de la hipotenusa, C viene siendo la hipotenusa
00:13elevado al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
00:19entonces este es el cateto A, elevado al cuadrado
00:23este es el cateto B, elevado al cuadrado, entonces se suma esto
00:25entonces llega a ser igual a la hipotenusa al cuadrado
00:31¿Cómo se usa? ¿Para qué se usa?
00:36les voy a poner unos ejemplos
00:38entonces supongamos que tenemos un triángulo rectángulo
00:44y sabemos la medida de dos catetos
00:48de los dos catetos, en uno cuatro metros y en otro tres metros
00:53entonces, esta es la fórmula que nos enseñaron en el colegio
00:57con la hipotenusa ya despejada
01:00entonces, vamos a usarla
01:02cuatro metros
01:05entonces, el cateto A, cuatro metros
01:07elevado al cuadrado, entonces da 16 metros cuadrados
01:11más, este cateto, tres metros
01:14elevado al cuadrado, nueve
01:16entonces, la suma de sus catetos da 25 metros cuadrados
01:22entonces, está dentro de una raíz
01:24la raíz cuadrada de 25,5 y de metros cuadrados, metros
01:30entonces, da 5 metros
01:32y sin antes de medirla, la calculamos y da 5 metros
01:36vamos y la medimos y da eso
01:39¿Cómo le parece?
01:40da eso
01:42otro ejemplo es
01:44pero ya no con estos números
01:46ya no con estos valores
01:47supongamos que estamos alejados de un árbol
01:5312 metros de distancia, alejados de un árbol
01:56a 12 metros
01:57con respecto al lado horizontal
02:01y el árbol tiene 5 metros de altura
02:06y justo en la copa
02:10hay un fruto
02:11justo en la copa, en la parte más alta
02:14hay un fruto
02:16entonces, podemos calcular
02:18la distancia que está el fruto de nosotros
02:22entonces, un cateto mide 12 metros
02:26que está de distancia con respecto a la horizontal
02:29el palo, el árbol, entonces, 12 al cuadrado da 144 metros cuadrados
02:36la altura del árbol, 5 metros
02:39entonces, da 25 metros cuadrados
02:43el cuadrado de 5 metros
02:45dentro de una raíz
02:47a lo sumamos, da 144 metros cuadrados
02:51más 25 metros cuadrados
02:52da 169 metros cuadrados
02:54dentro de la raíz
02:56entonces, la raíz cuadrada de 169
02:59da 13 metros
03:0213
03:0313 metros
03:04entonces, está a 13 metros
03:07bueno
03:09ya
03:10bueno, entonces, vamos a demostrar
03:12que A del cuadrado más B del cuadrado
03:13es igual a A del cuadrado
03:15una manera ingeniosa de empezar
03:17es por medio de estos dos cuadrados
03:19un cuadrado
03:21que está en cita en otro cuadrado
03:23y que encaja perfectamente
03:26eso también lo vamos a deducir
03:28y que la figura en cita
03:30también es cuadrado
03:32bueno, entonces
03:37para saber que la figura sea un cuadrado
03:39es que todos sus lados sean iguales
03:41y que
03:43todos sus cuatro ángulos
03:45sean
03:46sean de 90 grados
03:48pero con saberse que los cuatro lados sean iguales
03:51con calcular no más que uno es de 90
03:54entonces ya
03:54suficiente
03:56bueno
03:57entonces
04:00cada lado de este
04:01de esta figura
04:03está limitado por un
04:05por un triángulo rectángulo
04:08justo en la hipotenusa
04:11este valor de A es igual a este
04:13igual a este
04:14igual a este
04:14y este valor de B es igual a este
04:16a este
04:16y a este
04:17entonces por lo tanto
04:18todos sus cuatro lados
04:19son iguales
04:22pero eso no me basta
04:24porque también necesito saber de
04:25un
04:29necesito saber si
04:30si es de 90 grados
04:32todos sus ángulos
04:33bueno
04:34pero ya con saberse que los cuatro lados son iguales
04:36con cálculo 1
04:38ya sabemos que
04:39es un cuadrado
04:41bueno entonces
04:44este giro que yo hago
04:47es 180 grados
04:49que por qué lo sé
04:50porque está limitado por una línea recta
04:52o también se puede decir
04:54por un ángulo llano
04:56ok
04:58pero resulta que en este giro
05:00hay tres ángulos
05:02el de este triángulo
05:03el de este supuesto cuadrado
05:05y este triángulo
05:07recuerda que estamos
05:08suponiendo
05:08hasta ahora estamos suponiendo
05:10que esto es un cuadrado
05:12bueno
05:13necesito saber
05:14que los ángulos internos
05:15de un triángulo
05:16es 180 grados
05:18porque me surge esta pregunta
05:21esa duda
05:23entonces tenemos este triángulo
05:24aunque me puede servir cualquiera
05:27y por medio de unas deducciones
05:28vamos a demostrar
05:31entonces trazamos una paralela
05:33a esta línea
05:35justo en la punta
05:38justo en el vértice
05:40bueno
05:41y entonces
05:44trazamos una línea indefinida
05:46respecto a esta línea
05:48y esta también
05:49indefinida
05:50entonces
05:51se nos suma tres
05:53tres ángulos
05:56acá afuera
05:57en este giro
05:59tres ángulos
05:59acá me dice
06:01con certeza
06:02que este ángulo rojo
06:03es igual a este
06:04porque lo sé
06:06bueno
06:07vamos a demostrar
06:12resulta que
06:12vean
06:13este giro
06:14que yo hago
06:16es de 180 grados
06:17porque está limitado
06:18por esta línea recta
06:21o sea que
06:22B más C
06:22es igual a 180
06:23acá lo tengo
06:26y este
06:29y este giro
06:31que yo hago
06:31también de 180 grados
06:33porque está limitado
06:34por esta línea recta
06:35entonces
06:35A más B
06:36es 180
06:39entonces
06:40vamos a
06:41a esperar B
06:43en esta fórmula
06:44y da
06:45B es igual
06:46entonces
06:48restamos C
06:49en ambos lados
06:50de la igualdad
06:51y se mantiene
06:51entonces da
06:52B es igual
06:53a 180 grados
06:55menos C
06:56a lo que nos dio
06:58vamos a reemplazar
06:59B
07:00yo no vamos a decir
07:01B sino
07:02180 grados
07:03menos C
07:03en esta fórmula
07:04entonces nos queda
07:05A más
07:06entre paréntesis
07:08180 grados
07:09menos C
07:09igual a 180
07:11solamente
07:12reemplazamos
07:12el valor
07:13de B
07:14este
07:15vamos a reemplazarlo
07:16por esto
07:17entonces
07:20haciéndolos
07:21bueno entonces
07:22resumiendo
07:23te da
07:23A más 180 grados
07:24menos C
07:25es igual a 180 grados
07:28restamos
07:28180 grados
07:29en ambos lados
07:29de la igualdad
07:30y se mantiene
07:31te da
07:32A menos C
07:33es igual a 0
07:34ahora
07:35sumamos C
07:36en ambos lados
07:37de la igualdad
07:37y te resulta
07:38que A es igual a 0
07:40entonces
07:40que nos quiere decir
07:41eso
07:41que los ángulos
07:43opuestos
07:44son
07:45tienen la misma
07:47medida
07:47este ángulo
07:49opuesto a este
07:49también
07:53bueno
07:54bueno
07:56esto ya lo demostramos
07:57ahora
08:00resulta que
08:02que tenemos
08:03este ángulo
08:04de este triángulo
08:05y este
08:07de otro
08:09y la suma
08:10de estos dos
08:11da 90
08:12y no le queda
08:13otra
08:13sino que este
08:14también es de 90
08:15entonces ya
08:16demostramos que
08:17que esta figura
08:19es cierta
08:19es un cuadrado
08:21que porque sé
08:22que este triángulo
08:23que esta suma
08:25de este
08:27la suma
08:28de este ángulo
08:29y con este
08:30es de 90
08:30porque vea
08:33tiene la misma
08:34medida
08:34a este
08:36a este triángulo
08:37o sea
08:37son ángulos
08:38son triángulos
08:39conduentes
08:42este ángulo
08:43que vemos acá
08:44es igual a este
08:46y este ángulo
08:47que tenemos acá
08:48es igual a este
08:50entonces
08:51y como
08:52y como la suma
08:54interna
08:54de todos
08:55de todos
08:56sus ángulos
08:56debe dar
08:58180
08:58ya sabemos
08:59que este
08:59es de 90
09:00y los otros
09:01la suma
09:02de estos dos
09:02el de
09:05la suma
09:06es de 90
09:07entonces
09:08este giro
09:09es de 180
09:11grados
09:12entonces
09:13ya lo demostramos
09:16bueno
09:17entonces
09:17área de todos
09:18los cuadrados
09:19es base
09:19por altura
09:20claro que
09:21cuando son cuadrados
09:22la base
09:23es igual
09:24a la altura
09:24o lado
09:26por lado
09:27el cuadrado
09:28también debe
09:28tener sus
09:29cuatro ángulos
09:30rectos
09:31ya lo demostramos
09:32el área
09:33del cuadrado
09:33mayor
09:34es
09:34área es igual
09:35a más b
09:36por a más b
09:38que porque lo sé
09:39vea
09:40un lado es
09:41a
09:42más b
09:43el otro lado
09:44es a
09:44más b
09:45ok
09:49bueno
09:50vamos a comparar
09:51el área
09:52total
09:52de dos maneras
09:53diferentes
09:53e igualándolas
09:54como así
09:55dos maneras
09:56diferentes
09:56en una
09:57el triángulo
09:59mayor
09:59que a más b
10:00por a más b
10:01ok
10:03y la otra
10:06y la otra
10:07es la suma
10:08de todas
10:08sus partes
10:10entonces
10:11el triángulo
10:12el cuadrado
10:13mayor
10:15el área
10:16del cuadrado
10:16mayor
10:16es igual
10:18a la suma
10:19de todas
10:20sus partes
10:20entonces
10:21tenemos
10:22cuatro triángulos
10:23iguales
10:23y un cuadrado
10:26y un cuadrado
10:27entonces
10:30entonces
10:30a más b
10:32por a más b
10:34es igual
10:35a c al cuadrado
10:36que tenemos
10:37tenemos
10:38el cuadrado
10:39de la oce
10:44es igual
10:45a c al cuadrado
10:47más
10:50cuatro triángulos
10:53cuya área
10:54es
10:54a por b
10:56sobre 2
10:56como sé
10:58que el área
10:58del triángulo
10:59rectángulo
11:00es
11:00ab
11:01sobre 2
11:03porque
11:04vea
11:05hagan en cuenta
11:06que
11:07que tenemos
11:08un rectángulo
11:09de
11:12un rectángulo
11:14de base
11:14a
11:15altura
11:16b
11:16entonces
11:17el área
11:18viene siendo
11:18el área
11:19del rectángulo
11:20viene siendo
11:20a por b
11:21pero resulta que
11:23lo cortamos
11:24justo por la mitad
11:25pero en diagonal
11:27entonces
11:27viene siendo
11:28la mitad
11:29de esa área
11:31entonces
11:32el área
11:34viene siendo
11:37ab
11:38sobre 2
11:38y como son
11:39cuatro triángulos
11:40iguales
11:41entonces
11:43este es
11:44el área
11:46total
11:48por partes
11:50esto es
11:51el área
11:51mayor
11:52del cuadrado
11:53entonces
11:54seguimos
11:56esto lo vamos
11:57a
11:57simplificar
11:59más
12:01entonces
12:01tenemos
12:02ab
12:03sobre 2
12:03entonces
12:03se da cuenta
12:04que tenemos
12:04acá
12:05ab
12:07sobre 2
12:08pero tenemos
12:09cuatro partes
12:10entonces
12:10viene siendo
12:122ab
12:13acá lo tenemos
12:142ab
12:18ahora
12:19resolvemos
12:20esto
12:22entonces
12:22queda
12:23a al cuadrado
12:24más 2ab
12:25más b al cuadrado
12:25como sé
12:26que esto es cierto
12:28ya
12:28tenemos
12:28este cuadrado
12:30del lado
12:31a más b
12:32y el otro lado
12:34a más b
12:37de ahí
12:38que podemos
12:39deducir
12:39que el área
12:40es
12:41es igual
12:42a al cuadrado
12:43más 2ab
12:44porque tenemos
12:45dos rectángulos
12:46de ab
12:47entonces
12:48tenemos dos
12:48entonces 2ab
12:49más b al cuadrado
12:51que es igual
12:52a c al cuadrado
12:53más 2ab
12:58a al cuadrado
12:59más 2ab
13:00entonces
13:01entonces
13:01que hacemos
13:01acá
13:03en ambos lados
13:04de esta igualdad
13:06tenemos
13:072ab
13:07y 2ab
13:08restamos
13:102ab
13:11en ambos lados
13:12y se mantiene
13:13en la igualdad
13:14entonces queda
13:16entonces
13:17se va
13:182ab
13:19se simplifica
13:202ab
13:21menos 2ab
13:22y también
13:24se simplifica
13:252ab
13:25menos 2ab
13:26y queda
13:27al cuadrado
13:28más b al cuadrado
13:29es igual
13:30a c al cuadrado
13:31y lo demostramos
13:34entonces lo que hacen
13:35en el colegio
13:36es
13:37que
13:39pero ya
13:40es otro tema
13:43porque toca
13:44también
13:45explicar
13:46paso a paso
13:47porque
13:47como se
13:49como se
13:51se despeja
13:52el exponente
13:53bueno entonces
13:54despejándolo
13:55entonces
13:58como esto
13:59es una igualdad
14:01sacamos raíz
14:02a ambos lados
14:04y se mantiene
14:06entonces
14:07la raíz cuadrada
14:08de al cuadrado
14:09más b al cuadrado
14:10es igual
14:10a la raíz cuadrada
14:11de c al cuadrado
14:14entonces
14:16la raíz
14:17de c al cuadrado
14:19como sé
14:19que c
14:20es positiva
14:22puedo pasar
14:22inmediatamente
14:23acá
14:25pero para los que tienen
14:26dudantes
14:26pueden poner
14:27valor absoluto
14:28de c
14:29de la escuela
14:30de al cuadrado
14:31más b al cuadrado
14:32es igual a valor
14:33absoluto
14:33de c
14:34y como
14:35y como toda estancia
14:38es positiva
14:39entonces puedo
14:40sacar
14:41la
14:42del valor
14:43absoluto
14:43de la escuela
14:44de al cuadrado
14:44más b al cuadrado
14:45es igual a c
14:47bueno
14:48muchas gracias
14:49por todo
14:50acá está
14:52la bibliografía
14:55de lo que
14:58de lo que
14:59investigué
15:01muchas gracias
15:03por todo
